Man nehme:

Einen Sack, in den man mit 50/50 Chance eine schwarze oder eine weiße Kugel steckt. Idealerweise dürfen wir also davon ausgehen, daß in der Hälfte aller Fälle weiß, in der anderen Hälfte schwarz drinnen ist.

Wie groß ist die Chance, eine weiße Kugel zu ziehen? Natürlich 50 %.

Nun nehmen wir aber diesen Sack mit unbekanntem Inhalt und fügen eine weiße Kugel hinzu. Im Sack befinden sich also jetzt zwei Kugeln. Nun ziehen wir eine Kugel aus dem Sack und sehen: sie ist weiß.

Wie groß ist nun die Chance, aus diesem Sack noch eine weiße Kugel zu ziehen? Natürlich....
Grüße,
Tom

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mhh...kann man doch nicht"berechnen", da man nicht weiss was drin ist oder?

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>Einen Sack, in den man mit 50/50 Chance eine schwarze oder eine weiße Kugel steckt. Idealerweise dürfen wir also davon ausgehen, daß in der Hälfte aller Fälle weiß, in der anderen Hälfte schwarz drinnen ist.
>Wie groß ist die Chance, eine weiße Kugel zu ziehen? Natürlich 50 %.
>Nun nehmen wir aber diesen Sack mit unbekanntem Inhalt und fügen eine weiße Kugel hinzu. Im Sack befinden sich also jetzt zwei Kugeln. Nun ziehen wir eine Kugel aus dem Sack und sehen: sie ist weiß.
>Wie groß ist nun die Chance, aus diesem Sack noch eine weiße Kugel zu ziehen? Natürlich....
>Grüße,
>Tom


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>Einen Sack, in den man mit 50/50 Chance eine schwarze oder eine weiße Kugel steckt. Idealerweise dürfen wir also davon ausgehen, daß in der Hälfte aller Fälle weiß, in der anderen Hälfte schwarz drinnen ist.
>Wie groß ist die Chance, eine weiße Kugel zu ziehen? Natürlich 50 %.
>Nun nehmen wir aber diesen Sack mit unbekanntem Inhalt und fügen eine weiße Kugel hinzu. Im Sack befinden sich also jetzt zwei Kugeln. Nun ziehen wir eine Kugel aus dem Sack und sehen: sie ist weiß.
>Wie groß ist nun die Chance, aus diesem Sack noch eine weiße Kugel zu ziehen? Natürlich....
>Grüße,
>Tom


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Sagen wir, wir haben einen bekannten und er erzählt uns von seiner Tochter. Ausserdem erwähnt er, dass er 2 Kinder hat.

Wie gross ist die Chance, dass beide weiblich sind?

50:50, ist doch klar!? - falsch!

Eine Aufzählung aller Varianten zeigt, dass die Chance 33% ist.

Variante 1:

Kind 1 w, Kind 2 m
Kind 1 w, Kind 2 w
Kind 1 m, Kind 2 w

In allen 3 Fällen sind beide Bedingungen gegeben, aber nur in einem sind auch wirklich beide weiblich.

Leider lässt sich keine Aussage über die Attraktivität der Damen machen ;)

Gruss,
D.

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<pre>
# Kugel-Simulation
srand();

@turns = (5,10,20,50,100,1000,10000,100000,1000000);

$hdr ="Erfolgsraten";
print"$hdr:
",'=' x length($hdr),"

";
for $N (@turns)
{
$w_w = 0;
for $n (1..$N)
{
@tmp = (1); # white
push @tmp, int(0.5+rand);

$first_idx = int(0.5+rand);
@result = ($tmp[$first_idx],$tmp[1-$first_idx]);

++$w_w if ($result[0] == 1 and $result[1] ==1);
}

print ' ' x (length($turns[-1])-length($N)),"$N Durchläufe:", $w_w/$N,"
";
}
</pre>

Ergebnis:

<pre>

Erfolgsraten:
============

5 Durchläufe: 0.4
10 Durchläufe: 0.5
20 Durchläufe: 0.55
50 Durchläufe: 0.56
100 Durchläufe: 0.46
1000 Durchläufe: 0.533
10000 Durchläufe: 0.5029
100000 Durchläufe: 0.49919
1000000 Durchläufe: 0.499258

</pre>


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Hallo,

die Wahrscheinlichkeit, dass du zuerst die unbekannte (A) oder die bekannte weiße (B) ziehst, ist zunächst jeweils 50%.

Im Fall (A) ziehst du zuerst entweder eine schwarze (25% oder eine weiße (25%).
Die nächste ist dann die bekannte weiße. Da aus der Frage bekannt ist, dass es die weiße war, scheidet die erste Variante aus und es bleibt für diesen Fall also nur eine Gesamtwahrscheinichkeit von 25%, die aber voll und ganz auf weiß entfallen!

Im Fall (B) ziehts Du zuerst die bekannte weiße (50%), als nächstes dann jeweils zur Hälfte die unbekannte als weiße (25%) oder schwarze (25%).

Es bleibt also weiß 50% (25wA+25wB) von gesamt 75% (25wA+25wB+25sB) = 2:3

Gruß
d.o.c

(so spät am abend noch soviel denken......)

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wir haben Kugel A, Kugel B, Kugel C

Wie viele Varianten gibt es?

ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA

Nun sagen wir, Kugel A und C sind weiss. B schwarz

Nun sind unzulässige Kombinationen (b als eine der ersten beiden Stellen): ABC, BAC, BCA, CBA.

Zulässig: ACB, CAB.

Somit ist die Wahrscheinlichkeit 1:3

Gruss,
D.

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>Sagen wir, wir haben einen bekannten und er erzählt uns von seiner Tochter. Ausserdem erwähnt er, dass er 2 Kinder hat.
>Wie gross ist die Chance, dass beide weiblich sind?
>50:50, ist doch klar!? - falsch!
>Eine Aufzählung aller Varianten zeigt, dass die Chance 33% ist.
>Variante 1:
>Kind 1 w, Kind 2 m
>Kind 1 w, Kind 2 w
>Kind 1 m, Kind 2 w
>In allen 3 Fällen sind beide Bedingungen gegeben, aber nur in einem sind auch wirklich beide weiblich.
>Leider lässt sich keine Aussage über die Attraktivität der Damen machen ;)

Im gegenständlichen Sachverhalt weiss man ja bereits FIX, dass die erste der beiden Kugeln weiss sein muss. Auf Deine Variation umgemünzt: Ein Kind ist SICHER weiblich. ;-)

Erst hier (und nicht VOR der ersten"Stichprobe") setzt die Aufgabenstellung ein. Und dann weiss man eben nicht, ob weiss oder schwarz. Also 50:50.

Meint silvereagle.



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>>Sagen wir, wir haben einen bekannten und er erzählt uns von seiner Tochter. Ausserdem erwähnt er, dass er 2 Kinder hat.
>>Wie gross ist die Chance, dass beide weiblich sind?
>>50:50, ist doch klar!? - falsch!
>>Eine Aufzählung aller Varianten zeigt, dass die Chance 33% ist.
>>Variante 1:
>>Kind 1 w, Kind 2 m
>>Kind 1 w, Kind 2 w
>>Kind 1 m, Kind 2 w
>>In allen 3 Fällen sind beide Bedingungen gegeben, aber nur in einem sind auch wirklich beide weiblich.
>>Leider lässt sich keine Aussage über die Attraktivität der Damen machen ;)
>Im gegenständlichen Sachverhalt weiss man ja bereits FIX, dass die erste der beiden Kugeln weiss sein muss. Auf Deine Variation umgemünzt: Ein Kind ist SICHER weiblich. ;-)
>Erst hier (und nicht VOR der ersten"Stichprobe") setzt die Aufgabenstellung ein. Und dann weiss man eben nicht, ob weiss oder schwarz. Also 50:50.
>Meint silvereagle.

Ja, aber Du weisst nicht, welches!

Gruss,
D.

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>wir haben Kugel A, Kugel B, Kugel C
>Wie viele Varianten gibt es?
>ABC
>ACB
>BAC
>BCA
>CAB
>CBA
>Nun sagen wir, Kugel A und C sind weiss. B schwarz
>Nun sind unzulässige Kombinationen (b als eine der ersten beiden Stellen): ABC, BAC, BCA, CBA.
>Zulässig: ACB, CAB.
>Somit ist die Wahrscheinlichkeit 1:3
>Gruss,
>D.


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mein kommentar war da wohl fehl am platz *g* naja...was solls

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Hallo,
sorry, aber deine Varainten sind nicht gleichberechtigt,
da Du
1. die weiße auf jeden Fall reinwirfst,
und nur die zweite Kugel entweder schwarz oder weiß ist
a SW
b WW
und
c WS
d WW
je nachdem ob Du zunächst die unbekannte (ab) oder bekannte weiße (cd) ziehst,

und
2. die Variante a nicht möglich ist, weil Dir bekannt ist, dass die erste gezogene eine weiße ist!!

Gruß
d.o.c

>wir haben Kugel A, Kugel B, Kugel C
>Wie viele Varianten gibt es?
>ABC
>ACB
>BAC
>BCA
>CAB
>CBA
>Nun sagen wir, Kugel A und C sind weiss. B schwarz
>Nun sind unzulässige Kombinationen (b als eine der ersten beiden Stellen): ABC, BAC, BCA, CBA.
>Zulässig: ACB, CAB.
>Somit ist die Wahrscheinlichkeit 1:3
>Gruss,
>D.


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Es wurde nicht danach gefragt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass zu Beginn BEIDE weiss sind, sondern, wie hoch sie ist, dass nach der ersten Ziehung die zweite ebenfalls weiss ist. Das ist bitte nicht dasselbe!

>Ja, aber Du weisst nicht, welches!
>Gruss,
>D.

Das ist mE aufgrund der Fragestellung irrelevant! ;-)


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Hab die Aufgabenstellung falsch verstanden. Dachte, es sei eine Schwarze und eine Weisse drin. Dabei ist entweder eine schwarze, oder eine weisse da.

Dann stimmt 2/3 natürlich:

(1) S da, W dazugelegt, erste aus (SW) gezogen => S gezogen, W bleibt
(2) S da, W dazugelegt, zweite aus (SW) gezogen => W gezogen, S bleibt
(3) W da, W dazugelegt, erste aus (WW) gezogen => W gezogen, W bleibt
(4) W da, W dazugelegt, zweite aus (WW) gezogen => W gezogen, W bleibt

Gruss,
D.

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</center>

>(1) S da, W dazugelegt, erste aus (SW) gezogen => S gezogen, W bleibt

Genau da liegt bereits der Fehler. Es wurde eine WEISSE gezogen, keine schwarze. Du gehst wieder vom URSPRUNGSzustand aus, sprich: als beide Kugeln noch drinnen waren. De facto ist aber bereits eine draussen, und sie war weiss.

ME ist es sodann auch ganz egal, welche der (nur"angenommenen"!) weissen Du erwischt hast. Die Chance ist NUN jedenfalls 50:50.

Stell es Dir folgendermassen vor: Durch das Dazulegen der weissen wurde die Wahrscheinlichkeit hinsichtlich der bereits darin befindlichen Kugel ja in keinster Weise verändert. Das wird aber bei Deinem Ansatz (und dem von d.o.c.) übersehen.

Gruss, silvereagle

<center>

<HR>

</center>

habe leider durch die falsche Zahl dividiert. Hier die (hoffentlich) korrekte Version (,die dieses Mal meine ursprüngliche Vermutung von 66% ausgibt).

<pre>
# Kugel-Simulation
srand();

@turns = (5,10,20,50,100,1000,10000,100000,1000000);

$hdr ="Erfolgsraten";
print"$hdr:
",'=' x length($hdr),"

";
for $N (@turns)
{
$w_w = 0;
$w_x = 0;

for (1..$N)
{
@tmp = (1); # white
push @tmp, int(0.5+rand);

$first_idx = int(0.5+rand);
@result = ($tmp[$first_idx],$tmp[1-$first_idx]);

++$w_x if ($result[0] == 1);
++$w_w if ($result[0] == 1 and $result[1] ==1);
}

print ' ' x (length($turns[-1])-length($N)),"$N Durchläufe:", $w_w/$w_x,"
";
}
</pre>

<pre>
Erfolgsraten:
============
5 Durchläufe: 0.666666666666667
10 Durchläufe: 0.75
20 Durchläufe: 0.6875
50 Durchläufe: 0.459459459459459
100 Durchläufe: 0.661764705882353
1000 Durchläufe: 0.674202127659574
10000 Durchläufe: 0.657032498668087
100000 Durchläufe: 0.667076068672737
1000000 Durchläufe: 0.667479163914983
</pre>

Erklärung (Satz von Bayes):

<pre>
P(WW) 1 / 2 2
P(w/w) = ----- = ------- = -
P(W) 3 / 4 3
</pre>

Begründung für P(W) und P(WW):

2 Fälle sind zu unterscheiden:

1. ohne schwarze Kugel (P₁=1/2)
2. mit schwarze Kugel (P₂=1/2)

P(WW) entspricht P₂.
P(W) (also die Wahrscheinlichkeit, als erste eine weiße Kugel zu ziehen) beträgt:

P(W) = P(W)/1.Fall + P(W)/2.Fall = 1/2*1/2 + 1*1/2 = 3/4

Ich glaube, d.o.c. hat es analog erklärt.

Gruß, dira


<center>

<HR>

</center>

nein, die Wahrscheinlichkeit, dass Du nach Ziehen der ersten weißen als zweite eine schwarze oder weiße ziehst ist eben nicht 50%, da nicht bekannt ist, ob die erste gezogene die bekannte weiße (50%) oder zufällig eine weiße unbekannte ist (25%)

Gruß

d.o.c

>>(1) S da, W dazugelegt, erste aus (SW) gezogen => S gezogen, W bleibt
>Genau da liegt bereits der Fehler. Es wurde eine WEISSE gezogen, keine schwarze. Du gehst wieder vom URSPRUNGSzustand aus, sprich: als beide Kugeln noch drinnen waren. De facto ist aber bereits eine draussen, und sie war weiss.
>ME ist es sodann auch ganz egal, welche der (nur"angenommenen"!) weissen Du erwischt hast. Die Chance ist NUN jedenfalls 50:50.
>Stell es Dir folgendermassen vor: Durch das Dazulegen der weissen wurde die Wahrscheinlichkeit hinsichtlich der bereits darin befindlichen Kugel ja in keinster Weise verändert. Das wird aber bei Deinem Ansatz (und dem von d.o.c.) übersehen.
>Gruss, silvereagle


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>habe leider durch die falsche Zahl dividiert. Hier die (hoffentlich) korrekte Version (,die dieses Mal meine ursprüngliche Vermutung von 66% ausgibt).
><pre>
># Kugel-Simulation
>srand();
>
>@turns = (5,10,20,50,100,1000,10000,100000,1000000);
>
>$hdr ="Erfolgsraten";
>print"$hdr:
",'=' x length($hdr),"

";
>for $N (@turns)
>{
> $w_w = 0;
> $w_x = 0;
>
> for (1..$N)
> {
> @tmp = (1); # white
> push @tmp, int(0.5+rand);
>
> $first_idx = int(0.5+rand);
> @result = ($tmp[$first_idx],$tmp[1-$first_idx]);
>
> ++$w_x if ($result[0] == 1);
> ++$w_w if ($result[0] == 1 and $result[1] ==1);
> }
>
> print ' ' x (length($turns[-1])-length($N)),"$N Durchläufe:", $w_w/$w_x,"
";
>}
></pre>
><pre>
>Erfolgsraten:
>============
> 5 Durchläufe: 0.666666666666667
> 10 Durchläufe: 0.75
> 20 Durchläufe: 0.6875
> 50 Durchläufe: 0.459459459459459
> 100 Durchläufe: 0.661764705882353
> 1000 Durchläufe: 0.674202127659574
> 10000 Durchläufe: 0.657032498668087
> 100000 Durchläufe: 0.667076068672737
>1000000 Durchläufe: 0.667479163914983
></pre>
>Erklärung (Satz von Bayes):
><pre>
> P(WW) 1 / 2 2
>P(w/w) = ----- = ------- = -
> P(W) 3 / 4 3
></pre>
>Begründung für P(W) und P(WW):
>2 Fälle sind zu unterscheiden:
>1. ohne schwarze Kugel (P₁=1/2)
>2. mit schwarze Kugel (P₂=1/2)
>P(WW) entspricht P₂.
>P(W) (also die Wahrscheinlichkeit, als erste eine weiße Kugel zu ziehen) beträgt:
>P(W) = P(W)/1.Fall + P(W)/2.Fall = 1/2*1/2 + 1*1/2 = 3/4
>Ich glaube, d.o.c. hat es analog erklärt.
>Gruß, dira

Immer schön die Simulationen tunen bis das Richtige herauskommt Du Schelm;-)
Gruß EUKLID

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>>wir haben Kugel A, Kugel B, Kugel C
>>Wie viele Varianten gibt es?
>>ABC
>>ACB
>>BAC
>>BCA
>>CAB
>>CBA
>>Nun sagen wir, Kugel A und C sind weiss. B schwarz
>>Nun sind unzulässige Kombinationen (b als eine der ersten beiden Stellen): ABC, BAC, BCA, CBA.
>>Zulässig: ACB, CAB.
>>Somit ist die Wahrscheinlichkeit 1:3
>>Gruss,
>>D.

Immer Vorsicht!Eine Sicherheit von 100% hat eine Wahrscheinlichkeit von NULL;-)
Gruß EUKLID

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>nein, die Wahrscheinlichkeit, dass Du nach Ziehen der ersten weißen als zweite eine schwarze oder weiße ziehst ist eben nicht 50%, da nicht bekannt ist, ob die erste gezogene die bekannte weiße (50%) oder zufällig eine weiße unbekannte ist (25%)

Zuerst liegt eine Kugel im Sack, von der wir nicht wissen, welche Farbe sie hat. Danach legen wir eine weisse dazu. D.h., es gibt im Moment hinsichtlich der Zusammensetzung der beiden Kugeln nur zwei Möglichkeiten:

a) s und w
b) w und w

So, nun wissen wir, dass eine Kugel gezogen wurde, und sie ist weiss. Nun stellt sich laut Sachverhalt die Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass nun auch die zweite Kugel weiss ist. Im Falle a) ist die zweite Kugel schwarz, im Falle b) ist sie weiss. Macht 50:50.

Allmählich werd ich mir sicher. Mir scheint, Du und dira habt einen anderen Sachverhalt für Eure Berechnungen angenommen...

Gruss, silvereagle

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wie hier dermaßen einfache Sachverhalte verdreht werden.

Im geschilderten Szenario wird faktisch nichts anderes gemacht als dem Sack eine weiße Kugel hinzuzufügen und dann wieder eine wegzunehmen.

Gruß, ingo

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>Immer schön die Simulationen tunen bis das Richtige herauskommt Du Schelm;-)
>Gruß EUKLID

Nur dass leider immer noch nicht das Richtige herauskommt. Es ist für die Fragestellung nämlich VÃ-LLIG unerheblich, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, am BEGINN eine weisse zu ziehen. Diese Wahrscheinlichkeit ist in Wahrheit 100 %, weil laut Sachverhalt FESTSTEHT, dass man eine weisse gezogen hat. Danach liegt die Chance bei 50:50:

Entweder ist die Zusammensetzung

a) s und w
b) w und w,

als die weisse dazugelegt wurde. Wenn nun eine weisse gezogen wurde (VÃ-LLIG unerheblich,"welche"), dann sieht man sehr schön, dass es nur zwei Möglichkeiten geben kann: Schwarz oder weiss, beide gleich hoch. Also 50:50.


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>wie hier dermaßen einfache Sachverhalte verdreht werden.
>Im geschilderten Szenario wird faktisch nichts anderes gemacht als dem Sack eine weiße Kugel hinzuzufügen und dann wieder eine wegzunehmen.
>Gruß, ingo

Ich versuch's ja die ganze Zeit zu erklären. Mal sehen, ob's noch die"allgemeine" Erleuchtung gibt... ;-) Vielleicht spricht hirscherl ja mal ein Machtwort (obwohl, das Beispiel mit der Schnecke hat der Rätselaufsteller ja zunächst auch versiebt... ;-))

Gruss, silvereagle (der immer noch nicht weiss, ob man nach der Rechtschreibreform"Gruss" mit Doppel-S oder scharfem"ß" schreibt)


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... die Lösung: 2/3 Wahrscheinlichkeit, als zweite Kugel eine weiße zu ziehen, wie manche bereits vermutet/bewiesen haben.

Es gibt ja drei mögliche Zustände, die den geschilderten Bedingungen entsprechen: [S: schwarze Kugel, W1: weiße Kugel die schon drinnen war, W2: weiße Kugel die reingelegt wurde]

wenn eine weiße Kugel im Sack war:
1: gezogen (W1), drinnen (W2)
2: gezogen (W2), drinnen (W1)

wenn eine schwarze Kugel im Sack war:
3: gezogen (W2), drinnen (S)

Also zieht man in 2/3 aller Fälle als zweite Kugel weiß.

<ul> ~ Link</ul>
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Ja, Hirscherl, Wahrscheinlichkeitsrechnung ist gar nicht so einfach:-))

Gruß

Jochen

>Einen Sack, in den man mit 50/50 Chance eine schwarze oder eine weiße Kugel steckt. Idealerweise dürfen wir also davon ausgehen, daß in der Hälfte aller Fälle weiß, in der anderen Hälfte schwarz drinnen ist.
>Wie groß ist die Chance, eine weiße Kugel zu ziehen? Natürlich 50 %.
>Nun nehmen wir aber diesen Sack mit unbekanntem Inhalt und fügen eine weiße Kugel hinzu. Im Sack befinden sich also jetzt zwei Kugeln. Nun ziehen wir eine Kugel aus dem Sack und sehen: sie ist weiß.
>Wie groß ist nun die Chance, aus diesem Sack noch eine weiße Kugel zu ziehen? Natürlich....
>Grüße,
>Tom


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... zu erklären, warum mein Lösungsweg falsch ist:

Wenn ich zu der bereits drinnen liegenden Kugel eine weisse dazu lege, dann gibt es insgesamt nur zwei Möglichkeiten:

a) beide Kugeln sind weiss,
b) eine ist schwarz, eine ist weiss

"bildlich" dargestellt:

a) w und w
b) s und w

Da hinsichtlich der ersten Kugel eine gleich hohe Wahrscheinlichkeit zwischen weiss und schwarz ergibt, können auch a und b nur gleich wahrscheinlich sein. Dies aber nur zur Veranschaulichung.

Denn wenn jetzt laut Sachverhalt eine weisse gezogen wird, dann gibt es nur zwei, Möglichkeiten: Im Falle a) ist die zweite Kugel weiss; im Fall b) ist sie schwarz. Nachdem beide Möglichkeiten gleich wahrscheinlich sind, ergibt sich eine 50:50-Parität. Probiert es doch aus mit einem Sack und drei Münzen (davon zwei gleiche). Es läuft auf 50:50 hinaus, je nachdem, ob dié erste Kugel weiss, oder schwarz war.

Warum alle anderen falsch liegen sollen, und nur ich richtig? Ich glaube, dies liegt daran, als der Sachverhalt missverständlich ist. Wahrscheinlich rechnen alle, die auf 2/3 kommen, in WIrklichkeit die Wahrscheinlichkeit aus, HINTEREINANDER 2 weisse Kugeln zu ziehen. Dann wäre das Ergebnis richtig.

Meint silvereagle, der gerne konkret widerlegt werden möchte.

>Ja, Hirscherl, Wahrscheinlichkeitsrechnung ist gar nicht so einfach:-))
>Gruß
>Jochen
>>Einen Sack, in den man mit 50/50 Chance eine schwarze oder eine weiße Kugel steckt. Idealerweise dürfen wir also davon ausgehen, daß in der Hälfte aller Fälle weiß, in der anderen Hälfte schwarz drinnen ist.
>>Wie groß ist die Chance, eine weiße Kugel zu ziehen? Natürlich 50 %.
>>Nun nehmen wir aber diesen Sack mit unbekanntem Inhalt und fügen eine weiße Kugel hinzu. Im Sack befinden sich also jetzt zwei Kugeln. Nun ziehen wir eine Kugel aus dem Sack und sehen: sie ist weiß.
>>Wie groß ist nun die Chance, aus diesem Sack noch eine weiße Kugel zu ziehen? Natürlich....
>>Grüße,
>>Tom


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Moin silvereagle,

vgl. dazu"Grus", Kohlenstaub-, verwit. Gestein

Hust und Gruß
Herbi, prust

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Hallo silvereagle,

Die beiden von dir angegebenen Möglichkeiten sind korrekt, aber: wenn zwei weiße Kugeln drinnen liegen, kannst du sowohl die weiße Kugel ziehen, die du gerade reingelegt hast, als auch die weiße Kugel, die schon drinnen war.

Die Aufschlüsselung aller Möglichkeiten habe ich weiter unten bereits gepostet, d.o.c. & dira haben ebenfalls sehr schlüssig argumentiert.

" Denn wenn jetzt laut Sachverhalt eine weisse gezogen wird, dann gibt es nur zwei, Möglichkeiten: Im Falle a) ist die zweite Kugel weiss; im Fall b) ist sie schwarz. Nachdem beide Möglichkeiten gleich wahrscheinlich sind, ergibt sich eine 50:50-Parität."

Nein, wie gesagt: bei zwei weißen Kugeln im Sack gibt es zwei Arten, diese zu ziehen. Stell dir einfach vor, die weißen Kugeln wären numeriert.

" Probiert es doch aus mit einem Sack und drei Münzen (davon zwei gleiche). Es läuft auf 50:50 hinaus, je nachdem, ob dié erste Kugel weiss, oder schwarz war."

Ich habe es mit Karten ausprobiert, 2/3 stimmt. Bei Münzen würde ich aber aufpassen, damit sich das Unbewusste (Größe, Gewicht, Rand,...) nicht einmischt - also lieber drei gleiche Münzen nehmen und auf eine z.B. mit wasserunlöslichem Stift einen Punkt malen.

Grüße,
Tom

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Wenn die Frage lauten würde: Wie groß ist die Warscheinlichkeit 2 weiße Kugeln
hintereinander zu ziehen, wäre die Lößung 1/3

fall1: wws
fall2: sww
fall3: wsw

Die Frage lautet aber:
Jemand hat schon eine weiße Kugel gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit noch eine zu ziehen?

Die Wahrscheinlichkeit ist 1/2
möglich sind ja nur noch fall 1 oder 3

viele Grüße Merlin



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Hallo

Versuchen wirs mal so.

Die weisse Kugel die ich aus dem Sack genommen habe war mit 50% Wahrscheinlichkeit die, die ich reingesteckt habe.

Wenn es die war die ich reinegesteckt habe ist die Wahrscheinlichkeit 50/50 dass die noch verbleibende weiss ist.

War es aber die, die vorher drin war, dann ist die verbrleibende zu 100% weiss.

Die Wahrscheinlichkeiten addiert ergibt 75% Wahrscheinlichkeit für eine weisse Kugel?

Wenn falsch wo liegt der Fehler?

Dottore was meinen Sie?

m@G, beni







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>fall1: wws
>fall2: sww
>fall3: wsw

Laut Angabe sind immer nur zwei Kugeln im Sack, nicht drei. Es ist zu Beginn ENTWEDER eine weiße (W1) ODER eine schwarze (S) Kugel im Sack. Dann gibt man eine weiße Kugel hinzu (W2). Dann zieht man, und die gezogene Kugel ist weiß.

Wie hoch sind dann die Chancen, noch eine weiße zu ziehen?

Wenn am Anfang eine weiße (W1) Kugel im Sack war gibt´s zwei Fälle:
Fall 1: W1 gezogen, W2 noch im Sack
Fall 2: W2 gezogen, W1 noch im Sack

Wenn am Anfang eine schwarze (W1) Kugel im Sack war gibt´s noch einen zusätzlichen Fall:
Fall 3: W2 gezogen, S noch im Sack

Von drei möglichen Fällen wird bei zwei (Fall 1 und 2) noch eine weiße Kugel gezogen. Daher 2/3.

Grüße,
Tom

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>>habe leider durch die falsche Zahl dividiert. Hier die (hoffentlich) korrekte Version (,die dieses Mal meine ursprüngliche Vermutung von 66% ausgibt).
>><pre>
>># Kugel-Simulation
>>srand();
>>
>>@turns = (5,10,20,50,100,1000,10000,100000,1000000);
>>
>>$hdr ="Erfolgsraten";
>>print"$hdr:
",'=' x length($hdr),"

";
>>for $N (@turns)
>>{
>> $w_w = 0;
>> $w_x = 0;
>>
>> for (1..$N)
>> {
>> @tmp = (1); # white
>> push @tmp, int(0.5+rand);
>>
>> $first_idx = int(0.5+rand);
>> @result = ($tmp[$first_idx],$tmp[1-$first_idx]);
>>
>> ++$w_x if ($result[0] == 1);
>> ++$w_w if ($result[0] == 1 and $result[1] ==1);
>> }
>>
>> print ' ' x (length($turns[-1])-length($N)),"$N Durchläufe:", $w_w/$w_x,"
";
>>}
>></pre>
>><pre>
>>Erfolgsraten:
>>============
>> 5 Durchläufe: 0.666666666666667
>> 10 Durchläufe: 0.75
>> 20 Durchläufe: 0.6875
>> 50 Durchläufe: 0.459459459459459
>> 100 Durchläufe: 0.661764705882353
>> 1000 Durchläufe: 0.674202127659574
>> 10000 Durchläufe: 0.657032498668087
>> 100000 Durchläufe: 0.667076068672737
>>1000000 Durchläufe: 0.667479163914983
>></pre>
>>Erklärung (Satz von Bayes):
>><pre>
>> P(WW) 1 / 2 2
>>P(w/w) = ----- = ------- = -
>> P(W) 3 / 4 3
>></pre>
>>Begründung für P(W) und P(WW):
>>2 Fälle sind zu unterscheiden:
>>1. ohne schwarze Kugel (P₁=1/2)
>>2. mit schwarze Kugel (P₂=1/2)
>>P(WW) entspricht P₂.
>>P(W) (also die Wahrscheinlichkeit, als erste eine weiße Kugel zu ziehen) beträgt:
>>P(W) = P(W)/1.Fall + P(W)/2.Fall = 1/2*1/2 + 1*1/2 = 3/4
>>Ich glaube, d.o.c. hat es analog erklärt.
>>Gruß, dira
>Immer schön die Simulationen tunen bis das Richtige herauskommt Du Schelm;-)
>Gruß EUKLID

Warum kommt in deiner Simulation unter 50% vor (0,45) und sogar mehr als 0,75 obwohl das Spektrum der Antworten zwischen 50% und 66% liegen sollte????
Provokante Frage:Kann es bei tausend Durchgängen sein daß keiner ein Auto gewinnt? (Diese Frage ist mit einem Hinterhalt )
Darauf hätte ich gerne eine Antwort wenns geht! Danke!

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>Warum kommt in deiner Simulation unter 50% vor (0,45) und sogar mehr als 0,75 obwohl das Spektrum der Antworten zwischen 50% und 66% liegen sollte????

Das Spektrum liegt zwischen 0% und 100%. Wie kommst Du auf 50% - 66%? Nur weil die Wahrscheinlichkeit bei 66% liegt heißt dies nicht, daß nicht auch einmal einen Durchlauf mit 50, 500 oder meinetwegen 5000 Runden vorkommen kann, wo das mit 66% erwartete Ereignis kein einziges Mal eintritt - obwohl ich bei der letztgenannten Zahl eher davon ausgehe, in meinem Leben 10mal 6-Richtige im Lotto zu gewinnen.

>Provokante Frage:Kann es bei tausend Durchgängen sein daß keiner ein Auto gewinnt? (Diese Frage ist mit einem Hinterhalt )

Es kann keiner ein Auto gewinnen, weil es hier um weiße und schwarze Kugeln geht ;-) Ok, wenn die Frage auf das Ziegenproblem abzielt: es KANN passieren, daß der Kandidat in 1000 aufeinanderfolgenden Durchläufen kein Auto gewinnt - und die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis (Wechselstrategie vorausgesetzt) beträgt (1/3)¹⁰⁰⁰.

Gruß, dira

>Darauf hätte ich gerne eine Antwort wenns geht! Danke!


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