Gottfried Wilhelm Leibniz (1673)
PI/4 = 1/1 -1/3 +1/5 -1/7 +1/9 - +...........

Wer damit rechnet wird nicht glücklich werden weil eine äußerst langsame Konvergenz vorhanden ist.

John Machin (1706) entwickelte eine besonders geeignete Formel:
PI/4 = 4*arctan (1/5) -arctan (1/239)

GAUSS unser Altmeister
PI/4 = 12*arctan (1/18) + 8*arctan (1/57) -5*arctan (1/268)

Klingenstierna (1730)
PI/4 = 8*arctan (1/10) -arctan(1/239) -4*arctan (1/515)

EULER (1764)
PI/4 = 4*arctan(1/5) -arctan(1/70) +arctan(1/99)

Loney (1893)
PI/4 = 3*arctan(1/4) +arctan(1/20) +arctan(1/1985)

CARL STÃ-RMER (1896)
PI/4 = 6*arctan (1/8) + 2*arctan (1/57)+ arctan (1/239)

Bemerkung:Der Engländer John Machin hat die Zahl Pi auf 100 Dezimalen genau berechnet (natürlich per Fuß und ohne Computer)
der deutsche Richter hat dann im Jahre 1854 sogar 500 Dezimalen und der Engländer Shanks (1873) 707 Dezimalen ermittelt.
Das Ergebnis von Shanks wurde 1946 durch den Engländer Ferguson nachgerechnet und festgestellt daß bei Shanks nur 527 Dezimalen von den 707 richtig waren.
Im Jahre 1949 hat Georg.W. Reitwiesner auf Anregung von John von Neumann mit der Machin-Reihe mittels des Eniac 2035 Stellen ermittelt in einer Rechenzeit von 70 Stunden.Im Jahre 1958 hat der Franzose Genuys auf dem mittelschnellen Rechenautomaten IBM 704 mit der Machin-Reihe insgesamt 10000 Dezimalen von PI in 100 Minuten berechnet.Am 31.7.1961 berechnete J.M.Gerard in London auf einer sehr schnellen IBM 7090 wieder nach der Machin-Formel sogar 20000 Dezimalen in 39 Minuten.
Zwei Tage vorher war es jedoch John W.Wrench gelungen in New York die Zahl Pi sogar auf 100265 Dezimalen zu berechnen und zwar unabhängig nach der Gauß und Störmerschen Formel.Rechenzeit 8Stunden 43 Minuten.
Die viel einfachere Berechnung der Zahl e auf 100265 Dezimalen mittels der IBM 7090 erforderte nur 2,5 Stunden.
Damit dürfte jeder die Genauigkeit von Pi bis an das Ende des Universums steigern können,hat jedoch trotzdem keinerlei Chancen aus diesem irgendwie auszubrechen;-)
Gruß EUKLID

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