Das Gegenargument, wonach nach 998 (nicht 999, weil sonst keine 1000stel, sondern 1001stel!) gezogenen weissen Kugeln die Wahrscheinlichkeit minimalst sein muss, dass gerade jetzt die schwarze gezogen würde, kann ich nur durch folgende Überlegung in Zweifel ziehen: Das hätte zum Ergebnis, dass die Chance, die schwarze Kugel zu ziehen, mit jeder gezogenen weissen KLEINER wird, nicht grösser!

Aber zum Grundsätzlichen: Ich meine in der Tat, erkannt zu haben, was der Grund für die unüberwindlichen Gräben in diesem mit dem Ziegenproblem letztlich identischen Sachverhalt verursacht: Die unterschiedliche Betrachtungsweise, einmal ex-post (Bayes, JüKü und die große Mehrheit), einmal ex-ante (dottore und seine kleine, feine Gruppe von Meinungsgenossen, mich eingeschlossen). Vielleicht liegt hier des Pudels Kern: Klassisches Beispiel von Aneinander-Vorbeireden?!

Ehrlich gesagt, kann ich mit"a posteriori Wahrscheinlichkeiten" nichts anfangen - bin also durchaus offen für entsprechende Zurechtweisungen. Aber ich denke, dass es sowohl bei den Ziegen als auch den Weisskugeln im KONKRETEN Sachverhalt um EX-ANTE-Wahrscheinlichkeiten geht. In beiden Fällen muss ich mich JETZT entscheiden, nicht ex-post.

Da es noch nicht so abgedroschen ist wie das Ziege-Auto-Dilemma, hier nochmals der Sachverhalt hinsichtlich der Kugeln:

In einem Sack befindet sich eine Kugel, die zu je 50% Wahrscheinlichkeit eine weisse oder schwarze ist. Danach legt man eine weisse dazu, vermischt die beiden, und zieht eine Kugel: Es steht fest, dass eine weisse gezogen wurde.

Die Fragestellung: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch die zweite, noch im Sack verbliebene Kugel weiss ist?

MEIN Lösungsweg dafür lautete immer: Nachdem die erste Kugel zu 50 % weiss ist, kann es nach Dazulegen der weissen Kugel NUR zwei Möglichkeiten hinsichtlich der Zusammensetzung der beiden Kugeln geben:

a) w und w
b) s und w,

wobei sowohl a) als auch b) jeweils 50%-ige Wahrscheinlichkeit haben.

Wenn nun FESTSTEHT, dass danach eine weisse gezogen wurde, so lautet das Ergebnis jeweils wie folgt:

für a) die verbleibende Kugel MUSS weiss sein, weil ja zwei weisse drin waren, und
für b) die verbleibende Kugel MUSS schwarz sein, weil die einzige weisse gezogen wurde.

Da auch diese Wahrscheinlichkeiten gleich hoch sind und aus dieser Betrachtungsweise kein weiteres Ergebnis möglich ist, lautet die Wahrscheinlichkeit, nach der bereits gezogenen weissen eine weitere weisse zu ziehen, 50 %.

Gut, so weit waren wir schon mal. Hirscherl, Yihi, d.o.c. usw. haben dies dahingehend widerlegt, dass dieser Lösungsansatz deshalb falsch sei, weil er nicht berücksichtige, dass in Wirklichkeit DREI Kugeln im Spiel seien: Erstens die (50%-!) weisse, die schon drin ist ("W1"), zweitens die mit Sicherheit weisse ("W2"), und die (50%-) schwarze Kugel. Es mache demnach einen Unterschied, ob die"100%-weisse" (W2) oder"50%-weisse" (W1) gezogen worden sei, und demnach bleibe immer noch eine zweite weisse im Spiel, weshalb die Chance auf eine zweite weisse nach der ersten auch doppelt so hoch sein müsse wie die Chance auf eine schwarze als"Zweitentnahme".

Somit haben wir zwei wohlbegründete Ergebnisse, und nachdem unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten für ein und dasselbe Ereignis in unserer Welt nicht möglich sind, kann die Erklärung für die Diskrepanz nur darin liegen, dass jeweils von unterschiedlichen Ereignissen ausgegangen wird. Dies möchte ich damit untermauern, dass Hirscherl und Co. in Wirklichkeit nicht schlüssig darlegen konnten, warum meine Sichtweise falsch sei - vielmehr sei die ihre die"richtigere". Leider tu ich mir ebenfalls noch ein wenig schwer, zu erläutern, warum die 2/3-Sichtweise unrichtig sei - meine Vermutung geht wie gesagt dahin, dass eine ex-post Sicht zugrunde gelegt wird, wo ich den Sachverhalt nur aus einer ex-ante-Sicht betrachten kann: Wie hoch ist die konkrete Wahrscheinlichkeit JETZT, wenn ich die zweite ebenfalls ziehe, dass sie weiss ist.

Zum Schluss möchte ich noch die Ergebnisse eines"real-life"-Experiments veröffentlichen, welches ich durchgeführt habe. Dieses zu interpretieren, steht jedem frei; meine Interpretation soll aber auch nicht hintangehalten werden! ;-)

Ich nahm drei identische Münzen und einen Sack; eine der Münzen versah ich (wie von Hirscherl angeregt) mit einem schwarzen Punkt eines nicht-wasserlöslichen Stiftes (= die"schwarze"), die anderen beiden unmarkierten stellten die beiden weissen Kugeln dar. ---- Ich legte eine der unmarkierten K. zur Seite; sie sollte jene K. sein, die immer"dazugelegt" wird. Sodann nahm ich die beiden verliebenen (also je eine"schwarze" und eine"weisse") und gab sie in den Sack, schüttelte ihn kräftig durch, und zog eine davon --> dies war die"50%-Wahrscheinlichkeit" hinsichtlich der ersten K. Diese"Kugel" behielt ich in der Hand, während ich die andere aus dem Sack holte und weglegte (sie war hinsichtlich der 50%-Wahrscheinlichkeit, die immer am Beginn steht, quasi ausgeschieden), aber ich sah mir weder an, welche ich nun gezogen und vorläufig behalten hatte, noch diejenige, die wie gesagt"ausgeschieden" war.

Die gezogene (nochmals: zu 50% weiss oder schwarz) legte ich danach wieder zurück in den Sack. Und die zweite"weisse" gleich hintennach. Wieder kräftig geschüttelt, und dann zog ich die erste Münze (eigentlich: Kugel). Sie hatte (zufällig!) keinen Punkt, also unzweifelhaft"weiss". Die Aufgabenstellung wurde somit also bisher 100%ig erfüllt. Und dann die Stunde der Wahrheit: Welche Farbe hatte nun die andere Münze? Nun, sie war (zufällig) schwarz.

So machte ich es insgesamt 42 mal. Wenn nach der anfänglichen 50%-Wahl (weiss oder schwarz für die erste"Kugel") nun - entgegen dem eindeutigen Sachverhalt - eine schwarze gezogen wurde, so vermerkte ich dies, brach den Versuch ab, und begann wieder von vorn. In allen anderen Fällen konnte ich klar notieren, was für die jeweilige Stichprobe herauskam: weiss oder schwarz.

Das Ergebnis: Von den 42 Stichproben waren 19 weiss, 11 schwarz, und 12 waren"ausser Konkurrenz", weil entgegen der Aufgabenstellung die erste gezogene Kugel schwarz war.

Die gute Nachricht für die 2/3-Fraktion: 19:11 nähert sich ganz klar dem von diesen vertretenen 2:1 Verhältnis weiss:schwarz an. Daran gibts nichts zu rütteln.

ABER: Selbstverständlich war es (zunächst) ein Denkfehler meinerseits, die beschriebenen 12 Fälle, wo aus den beiden Kugeln im Sack zuerst eine schwarze Kugel gezogen wurde, als"ungültig" oder"ausser Konkurrenz" zu betrachten. Denn sie sind LAUT SACHVERHALT in Wirklichkeit nicht geschehen, bzw. nicht"so"! Denn es wird ja IMMER zunächst eine weisse gezogen. Wenn aber AUCH in diesen Fällen (die"Ausgangsposition" ändert sich ja nicht!) EBEN eine weisse gezogen worden wäre, so ist völlig klar, dass danach AUSSCHLIESSLICH eine schwarze gezogen werden kann. Denn dass eine schwarze drinnen ist, ist ja gerade dadurch bewiesen, dass (zuerst) eine schwarze gezogen wurde!

Und dadurch wendet sich das Blatt dramatisch: Dann lautet das Verhältnis nicht mehr 19:11 für weiss, sondern 23:19 - FÜR SCHWARZ! Das läuft ganz klar auf die 1:1 (50:50) Parität von weiss und schwarz hinsichtlich der zweiten Kugel hinaus.

Habe mich mit dem Ziegenproblem zwar nicht SO ausführlich wie mit den Kugeln beschäftigt, meine aber, dass das das gleiche in Grün ist: Die Chance auf das Auto ist immer gleich hoch wie auf die Ziege; der Moderator tut nichts anderes, als aus der zunächst dem Spieler erscheinenden 1/3 Chance eine 1:1 Chance zu machen, da eine Ziege eliminiert wird. Zumindest wenn man es"ex-ante" betrachtet, und der Spieler kann mE nur ex-ante entscheiden! Wozu also wechseln, wenn sich dadurch in punkto Wahrscheinlichkeit keine Verbesserung ergibt? Auch er hat hinsichtlich der ursprünglich getroffenen Wahl nur EINE Gewissheit: Entweder hat er das Auto schon, oder er hat eine Ziege. Rot oder schwarz? Gerade oder ungerade? Alles dasselbe: 1:1.

Gruss silvereagle, der jetzt ENDLICH auch seinen Senf zu dieser unlösbaren Debatte beitragen konnte! ;-)

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Hi silvereagle!

Danke für deine ex-ante und ex-post Unterscheidung, genau das spricht nämlich die verwirrende Problematik der Statistik an, dass es für ein und das selbe Ergebnis unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten geben kann, wenn immer der betrachtete Gesamtkontext unterschiedlich ist.

Dieser Gesamtkontext ist in der Tat verschieden zwischen der 50:50- und der 1/3 zu 2/3- Fraktion, weshalb sie auch zu unterschiedlichen Ergebnissen kommen.

All das hier erinnert mich eben an eine kleine Fangfrage aus einer Statistik-Klausur:

Eine Frau bekommt zwei Söhne, was eine Wahrscheinlichkeit von 25% in Bezug auf alle möglichen Fälle hatte. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das nächste Kind auch ein Sohn ist?

Lösung war: Natürlich wieder 50% und genau den gleichen Blickwinkel haben auch die 50er-Fraktion bei ihrer Lösung, welche für sich auch stimmt wenn man den Gesamtkontext des vorigen Ziehens bzw. die Gesamtmöglichkeiten außer acht läßt.

Schaut man sich die Frage genau an, so fällt einem auf: Es ist gefragt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für den Einzelfall ist.

Wäre allerdings gefragt worden, ob die Frau 3 Söhne hintereinander auf die Welt bringt, läge die Wahrscheinlichkeit natürlich bei 12,5%. Da es bekanntlich nur einen von 8 möglichen Fällen gibt, 3 Söhne zu bekommen.

Kurz gesagt gibt es also für das gleiche Ereignis zwei unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten: 50% und 12,5% allerdings immer bezogen auf einen unterschiedlichen Gesamtkontext(mathematisch: Anzahl günstiger Fälle pro Anzahl möglicher Fälle). Wer hat Recht? Beide bzw. jeder für sich und seine Sichtweise.
Und das ist die Grundannahme der Statistik, mit einer Sichtweise auf irgendeinen Kontext bezogen, wird abgeschätzt, sprich: Wahrscheinlichkeit ermittelt. Wieviele Möglichkeiten gibt es dass sich etwas so entwickelt und wieviele Möglichkeiten gibt es andersherum?

Aus diesem Grund haben in der Tat beide Fraktionen hier im Forum eine Möglichkeit Recht zu behalten und reden in der Tat aneinander vorbei.

Vielen Dank für dein Posting! Ich habe leider auch manchmal das Problem, dass ich bei Konflikten beide Seiten rational verstehe und dann total am Rätseln bin, wer denn Recht hat. Und damit sind wir eigentlich beim Knackpunkt: Kommt den hier Streitenden nicht der Spruch bekannt vor"Ja, wenn man das soooo sieht, dann sieht das natürlich anders aus..."?

Die Statistik wird zwar gerne als Anhängsel der Mathematik betrachtet, ist allerdings streng genommen eine getrennte Wissenschaft. Ich glaube die Mathematiker werden ihre Gründe für diese Ausgrenzung gehabt haben.:)

Cya
Condor

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Kugeln beschäftigen zu können.

Darf ich aber kurz zu Deiner Bemerkung"ex post/ex ante" was sagen:

Den Bayes (der auch in dem unsäglichen Uni-Bielefeld Aufsatz auftaucht) brauche ich eigentlich grundsätzlich nur dann (sozusagen in einer ex post Betrachtung), wenn ich ursprünglich einer unsicheren Wahrscheinlichkeitsverteilung gegenüberstand und durch neue Informationen nunmehr eine Verbesserung meiner Wahrscheinlichkeitsschätzungen erwarten kann. Das ist beim Ziegenproblem ja aber gar nicht der Fall: Die 1/3-Wahrscheinlichkeit der drei möglichen Anordnungen des Autos bzw. der Ziegen hinter den 3 Türen ist keine"unsichere Erwartung", sondern unter der Voraussetzung eines fairen Spieles eine gesicherte Grundannahme, und ich sehe nicht ein, wie das Ã-ffnen einer der drei Türen bezüglich der beiden anderen Türen einen Informationsgewinn bringen könnte, der über die Tatsache hinausgeht, daß halt nun statt drei nur mehr zwei verschlossene Türen vorhanden sind.

Ich jedenfalls bemühe mich, derartige Probleme so zu analysieren, daß ich mir den Entscheidungsraum erschöpfend mit allen Alternativen vergegenwärtige und dann nach der solcherart erfolgten Erfassung sämtlicher Möglichkeiten die Wahrscheinlichkeit mittels Division durch die gefragten Möglichkeiten ausrechne. Alles, was da im Forum und in dem (unsäglichen) Uni-Bielefeld Aufsatz über"das Aufsaugen" von Wahrscheinlichkeiten u.s.w. geschwätzt wird, ist m.E. nicht das Zeichen einer"ex ante" Betrachtung, sondern ein Zeichen unscharfen Denkens.

Wenn Du glaubst, daß ich mich auch mit dem Kugelproblem näher beschäftigen sollte, bin ich morgen gerne dazu bereit, brauche aber den entsprechenden Link.

Damit beste Grüße und einen geruhsamen Sonntag. Dies wünscht Dir

G.

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Betrachtungsweise ein und desselben Problems zu unterschiedlichen Ergebnissen. Wenn dem so wäre, so wäre die statistische Entscheidungstechnik keine Wissenschaft.

Aber danke für das Angebot, die bestehenden Differenzen mit viel Kleister zu kitten. So geht das aber nicht...

Liebe Grüße

G.

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Herrgott - Jesus - Mariah

dann nimm dir doch die Zeit und 1 Ass und 2 sonstige
Karten und spiele das durch - die Verteilung ist eher
ab 10 bis 30 Spielen (Wahrscheinlichkeitsexperimenten)
sicher.

Bitte tu's und gib uns bescheid - danke - j

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Genauer schließt eine Betrachtungsweise nur eine erfaßbar große Sicht auf Umgebungsbedingungen ein und unterschiedliche Betrachtungsweisen sind jeweils unterschiedliche Umgebungsbedingungen im Umfang dieser Erfassten, bei denen ein Teil der erfassten Umgebungsparameter unter den Tisch fällt. Womit wir bei Parallelen der Quantentheorie wären: läßt sich alles im Universum 100%ig exakt messen? Sprich Geschwindigkeit und Ort eines jeden einzelnen Teilchens definitiv orten und dann aller Teilchen nachfolgend? Leider nicht, laut Heisenbergscher Unschärferelation. Eine solche Unschärferelation auch auf andere Wissenschaften übertragen würde manchen Schwarzweißdenkern gut tun.

Man kann es Aufgabenstellung, Gesamtkontext, Betrachtungsweise, Umgebungsbedingungen oder Ausgangssituation nennen.

Sie meinen also im Klartext der Ausgang eines Experiments hängt nicht von den Umgebungsbedingungen ab?

Wenn die Statistik solche Folgerungen erlauben würde, dann wäre sie wirklich keine Wissenschaft. Da muss ich dann zustimmen.

Demnach meinen sie also eher etwas anderes, oder? Aber was?:)

Cya
Condor

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Die Wahrscheinlichkeit die Ziege beim ERSTEN Spiel zu treffen war 1 zu 3. Wäre sie getroffen worden, hätte das Spiel damit geendet.
Für das ZWEITE Spiel war also die Voraussetzung, daß beim ersten Spiel die größere Wahrscheinlichkeit eintraf.
Danach ist beim zweiten Spiel die Wahrscheinlichkeit 1 zu 1. (oder 50% GLEICHGÜLTIG ob man wechselt oder nicht) Man MUSS ja entweder das Auto oder die Niete getroffen haben. Das war eine 33.3333% Chance in beiden Fällen, also GLEICH oder 1 zu 1 oder 50 zu 50. Ein Wechsel danach verändert das nicht mehr. Es war schon vorher eine gleiche Chance. Ach Gott, ach Gott, ach Elliott.
Gruß Oldy

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>Die Wahrscheinlichkeit die Ziege beim ERSTEN Spiel zu treffen war 1 zu 3. Wäre sie getroffen worden, hätte das Spiel damit geendet.
>Für das ZWEITE Spiel war also die Voraussetzung, daß beim ersten Spiel die größere Wahrscheinlichkeit eintraf.
>Danach ist beim zweiten Spiel die Wahrscheinlichkeit 1 zu 1. (oder 50% GLEICHGÜLTIG ob man wechselt oder nicht) Man MUSS ja entweder das Auto oder die Niete getroffen haben. Das war eine 33.3333% Chance in beiden Fällen, also GLEICH oder 1 zu 1 oder 50 zu 50. Ein Wechsel danach verändert das nicht mehr. Es war schon vorher eine gleiche Chance. Ach Gott, ach Gott, ach Elliott.
>Gruß Oldy

Mein Gott Oldy,

willst Du Dich jetzt auch noch reinreiten, oder willst Du einmal mit dottore Meinung sein.

Kuck mal Oldy, das ist so wie mit Deinen Gogos: habe ich zusätzliche oder genauere Informationen oder kenn mich einfach besser aus, so kann ich diese Informationen nutzen, um meine Chance des von mir gewünschten Eintreffens zu erhöhen. Durch eine gute Strategie.

Wie hoch sind nun Deine Chancen, dass Deine Gogos zum Erfolg führen (Erfolg definiere ich mal als: Gogos bleiben min. ein Jahr in Nutzung - min. 100 Teilnehmer - min 30 000 $ Umsatz/a)?

Nun ist doch klar, dass Du hier zu einem ganz anderen Ergebnis kommst, als viele hier im Forum. Du hast mehr oder andere Informationen und vor allen Dingen, wirst Du eine Stratgie verwenden, die viele hier im Forum nicht kennen oder nicht verstanden haben.

Obige Wahrscheinlichkeit des Eintreffens läßt sich leider nicht empirisch ermitteln, aber ich wollte nur das Prinzip klar machen, dass zusätzliche Informationen Chancen erhöhen.

Und so ist es auch mit den Ziegen: Wenn der Moderator die Ziege zeigt, so bekomme ich eine zusätzliche Information. ABER: ich muß die Information auch zu nutzen verstehen und meine Strategie danach ausrichten.

Gruß

Campo




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Hallo silvereagle,

>Das Gegenargument, wonach nach 998 (nicht 999, weil sonst keine 1000stel, sondern 1001stel!) gezogenen weissen Kugeln die Wahrscheinlichkeit minimalst sein muss, dass gerade jetzt die schwarze gezogen würde, kann ich nur durch folgende Überlegung in Zweifel ziehen: Das hätte zum Ergebnis, dass die Chance, die schwarze Kugel zu ziehen, mit jeder gezogenen weissen KLEINER wird, nicht grösser!

Schon richtig, die Wahrscheinlichkeit, die schwarze zu ziehen, steigt mit weniger weißen Kugeln. Aber wir sind ja davon ausgegangen, das wir bei 998 Ziehungen nacheinander nur weiße Kugeln erwischen, obwohl eine schwarze drinnen ist. Das heißt, diese 998 durchaus größer werdenden Wahrscheinlichkeiten müssen mltipliziert werden (entspricht dem sprachlichen"und" - zuerst ziehen wir eine weiße UND dann noch eine weiße UND dann noch eine weiße UND...). Werden Zahlen kleiner 1 multipliziert, und das noch 998 mal, kommt eine sehr kleine Zahl raus.
Also: (999/1000)*(998/999)*(997/998)*.......*(4/5)*(3/4)*(2/3)

>Zum Schluss möchte ich noch die Ergebnisse eines"real-life"-Experiments veröffentlichen, welches ich durchgeführt habe. [...]
>Das Ergebnis: Von den 42 Stichproben waren 19 weiss, 11 schwarz, und 12 waren"ausser Konkurrenz", weil entgegen der Aufgabenstellung die erste gezogene Kugel schwarz war.
>Die gute Nachricht für die 2/3-Fraktion: 19:11 nähert sich ganz klar dem von diesen vertretenen 2:1 Verhältnis weiss:schwarz an. Daran gibts nichts zu rütteln.
>ABER: Selbstverständlich war es (zunächst) ein Denkfehler meinerseits, die beschriebenen 12 Fälle, wo aus den beiden Kugeln im Sack zuerst eine schwarze Kugel gezogen wurde, als"ungültig" oder"ausser Konkurrenz" zu betrachten. Denn sie sind LAUT SACHVERHALT in Wirklichkeit nicht geschehen, bzw. nicht"so"! Denn es wird ja IMMER zunächst eine weisse gezogen. Wenn aber AUCH in diesen Fällen (die"Ausgangsposition" ändert sich ja nicht!) EBEN eine weisse gezogen worden wäre, so ist völlig klar, dass danach AUSSCHLIESSLICH eine schwarze gezogen werden kann. Denn dass eine schwarze drinnen ist, ist ja gerade dadurch bewiesen, dass (zuerst) eine schwarze gezogen wurde!
>Und dadurch wendet sich das Blatt dramatisch: Dann lautet das Verhältnis nicht mehr 19:11 für weiss, sondern 23:19 - FÜR SCHWARZ!

Danke silvereagle, das du nicht dogmatisch vorgehst sondern es einfach ausprobierst. Wie du selbst bemerkt hast: 19:11, also grob 2/3 für weiß. Die Fälle wo du zuerst schwarz gezogen hast müssen unberücksichtigt bleiben, weil die Angabe ganz klar war: bestimmen sie die Wahrscheinlichkeit für eine weiße Kugel, unter der Annahme, daß schon eine weiße gezogen wurde. Das Argument:"wenn aber auch in diesen Fällen eine weiße gezogen worden wäre etc." ist völlig fehl am Platz, es wurde eine schwarze zuerst gezogen,"aus und vorbei", so fällt das Ereignis aus unserer Betrachtung raus.

Grüße,
Tom

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>Das Gegenargument, wonach nach 998 (nicht 999, weil sonst keine 1000stel, sondern 1001stel!) gezogenen weissen Kugeln die Wahrscheinlichkeit minimalst sein muss, dass gerade jetzt die schwarze gezogen würde, kann ich nur durch folgende Überlegung in Zweifel ziehen: Das hätte zum Ergebnis, dass die Chance, die schwarze Kugel zu ziehen, mit jeder gezogenen weissen KLEINER wird, nicht grösser!
>Aber zum Grundsätzlichen: Ich meine in der Tat, erkannt zu haben, was der Grund für die unüberwindlichen Gräben in diesem mit dem Ziegenproblem letztlich identischen Sachverhalt verursacht: Die unterschiedliche Betrachtungsweise, einmal ex-post (Bayes, JüKü und die große Mehrheit), einmal ex-ante (dottore und seine kleine, feine Gruppe von Meinungsgenossen, mich eingeschlossen). Vielleicht liegt hier des Pudels Kern: Klassisches Beispiel von Aneinander-Vorbeireden?!
>Ehrlich gesagt, kann ich mit"a posteriori Wahrscheinlichkeiten" nichts anfangen - bin also durchaus offen für entsprechende Zurechtweisungen. Aber ich denke, dass es sowohl bei den Ziegen als auch den Weisskugeln im KONKRETEN Sachverhalt um EX-ANTE-Wahrscheinlichkeiten geht. In beiden Fällen muss ich mich JETZT entscheiden, nicht ex-post.
>Da es noch nicht so abgedroschen ist wie das Ziege-Auto-Dilemma, hier nochmals der Sachverhalt hinsichtlich der Kugeln:
>In einem Sack befindet sich eine Kugel, die zu je 50% Wahrscheinlichkeit eine weisse oder schwarze ist. Danach legt man eine weisse dazu, vermischt die beiden, und zieht eine Kugel: Es steht fest, dass eine weisse gezogen wurde.
>Die Fragestellung: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch die zweite, noch im Sack verbliebene Kugel weiss ist?
>MEIN Lösungsweg dafür lautete immer: Nachdem die erste Kugel zu 50 % weiss ist, kann es nach Dazulegen der weissen Kugel NUR zwei Möglichkeiten hinsichtlich der Zusammensetzung der beiden Kugeln geben:
>a) w und w
>b) s und w,
>wobei sowohl a) als auch b) jeweils 50%-ige Wahrscheinlichkeit haben.
>Wenn nun FESTSTEHT, dass danach eine weisse gezogen wurde, so lautet das Ergebnis jeweils wie folgt:
>für a) die verbleibende Kugel MUSS weiss sein, weil ja zwei weisse drin waren, und
>für b) die verbleibende Kugel MUSS schwarz sein, weil die einzige weisse gezogen wurde.
>Da auch diese Wahrscheinlichkeiten gleich hoch sind und aus dieser Betrachtungsweise kein weiteres Ergebnis möglich ist, lautet die Wahrscheinlichkeit, nach der bereits gezogenen weissen eine weitere weisse zu ziehen, 50 %.
>Gut, so weit waren wir schon mal. Hirscherl, Yihi, d.o.c. usw. haben dies dahingehend widerlegt, dass dieser Lösungsansatz deshalb falsch sei, weil er nicht berücksichtige, dass in Wirklichkeit DREI Kugeln im Spiel seien: Erstens die (50%-!) weisse, die schon drin ist ("W1"), zweitens die mit Sicherheit weisse ("W2"), und die (50%-) schwarze Kugel. Es mache demnach einen Unterschied, ob die"100%-weisse" (W2) oder"50%-weisse" (W1) gezogen worden sei, und demnach bleibe immer noch eine zweite weisse im Spiel, weshalb die Chance auf eine zweite weisse nach der ersten auch doppelt so hoch sein müsse wie die Chance auf eine schwarze als"Zweitentnahme".
>Somit haben wir zwei wohlbegründete Ergebnisse, und nachdem unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten für ein und dasselbe Ereignis in unserer Welt nicht möglich sind, kann die Erklärung für die Diskrepanz nur darin liegen, dass jeweils von unterschiedlichen Ereignissen ausgegangen wird. Dies möchte ich damit untermauern, dass Hirscherl und Co. in Wirklichkeit nicht schlüssig darlegen konnten, warum meine Sichtweise falsch sei - vielmehr sei die ihre die"richtigere". Leider tu ich mir ebenfalls noch ein wenig schwer, zu erläutern, warum die 2/3-Sichtweise unrichtig sei - meine Vermutung geht wie gesagt dahin, dass eine ex-post Sicht zugrunde gelegt wird, wo ich den Sachverhalt nur aus einer ex-ante-Sicht betrachten kann: Wie hoch ist die konkrete Wahrscheinlichkeit JETZT, wenn ich die zweite ebenfalls ziehe, dass sie weiss ist.
>Zum Schluss möchte ich noch die Ergebnisse eines"real-life"-Experiments veröffentlichen, welches ich durchgeführt habe. Dieses zu interpretieren, steht jedem frei; meine Interpretation soll aber auch nicht hintangehalten werden! ;-)
>Ich nahm drei identische Münzen und einen Sack; eine der Münzen versah ich (wie von Hirscherl angeregt) mit einem schwarzen Punkt eines nicht-wasserlöslichen Stiftes (= die"schwarze"), die anderen beiden unmarkierten stellten die beiden weissen Kugeln dar. ---- Ich legte eine der unmarkierten K. zur Seite; sie sollte jene K. sein, die immer"dazugelegt" wird. Sodann nahm ich die beiden verliebenen (also je eine"schwarze" und eine"weisse") und gab sie in den Sack, schüttelte ihn kräftig durch, und zog eine davon --> dies war die"50%-Wahrscheinlichkeit" hinsichtlich der ersten K. Diese"Kugel" behielt ich in der Hand, während ich die andere aus dem Sack holte und weglegte (sie war hinsichtlich der 50%-Wahrscheinlichkeit, die immer am Beginn steht, quasi ausgeschieden), aber ich sah mir weder an, welche ich nun gezogen und vorläufig behalten hatte, noch diejenige, die wie gesagt"ausgeschieden" war.
>Die gezogene (nochmals: zu 50% weiss oder schwarz) legte ich danach wieder zurück in den Sack. Und die zweite"weisse" gleich hintennach. Wieder kräftig geschüttelt, und dann zog ich die erste Münze (eigentlich: Kugel). Sie hatte (zufällig!) keinen Punkt, also unzweifelhaft"weiss". Die Aufgabenstellung wurde somit also bisher 100%ig erfüllt. Und dann die Stunde der Wahrheit: Welche Farbe hatte nun die andere Münze? Nun, sie war (zufällig) schwarz.
>So machte ich es insgesamt 42 mal. Wenn nach der anfänglichen 50%-Wahl (weiss oder schwarz für die erste"Kugel") nun - entgegen dem eindeutigen Sachverhalt - eine schwarze gezogen wurde, so vermerkte ich dies, brach den Versuch ab, und begann wieder von vorn. In allen anderen Fällen konnte ich klar notieren, was für die jeweilige Stichprobe herauskam: weiss oder schwarz.
>Das Ergebnis: Von den 42 Stichproben waren 19 weiss, 11 schwarz, und 12 waren"ausser Konkurrenz", weil entgegen der Aufgabenstellung die erste gezogene Kugel schwarz war.
>Die gute Nachricht für die 2/3-Fraktion: 19:11 nähert sich ganz klar dem von diesen vertretenen 2:1 Verhältnis weiss:schwarz an. Daran gibts nichts zu rütteln.
>ABER: Selbstverständlich war es (zunächst) ein Denkfehler meinerseits, die beschriebenen 12 Fälle, wo aus den beiden Kugeln im Sack zuerst eine schwarze Kugel gezogen wurde, als"ungültig" oder"ausser Konkurrenz" zu betrachten. Denn sie sind LAUT SACHVERHALT in Wirklichkeit nicht geschehen, bzw. nicht"so"! Denn es wird ja IMMER zunächst eine weisse gezogen. Wenn aber AUCH in diesen Fällen (die"Ausgangsposition" ändert sich ja nicht!) EBEN eine weisse gezogen worden wäre, so ist völlig klar, dass danach AUSSCHLIESSLICH eine schwarze gezogen werden kann. Denn dass eine schwarze drinnen ist, ist ja gerade dadurch bewiesen, dass (zuerst) eine schwarze gezogen wurde!
>Und dadurch wendet sich das Blatt dramatisch: Dann lautet das Verhältnis nicht mehr 19:11 für weiss, sondern 23:19 - FÜR SCHWARZ! Das läuft ganz klar auf die 1:1 (50:50) Parität von weiss und schwarz hinsichtlich der zweiten Kugel hinaus.
>Habe mich mit dem Ziegenproblem zwar nicht SO ausführlich wie mit den Kugeln beschäftigt, meine aber, dass das das gleiche in Grün ist: Die Chance auf das Auto ist immer gleich hoch wie auf die Ziege; der Moderator tut nichts anderes, als aus der zunächst dem Spieler erscheinenden 1/3 Chance eine 1:1 Chance zu machen, da eine Ziege eliminiert wird. Zumindest wenn man es"ex-ante" betrachtet, und der Spieler kann mE nur ex-ante entscheiden! Wozu also wechseln, wenn sich dadurch in punkto Wahrscheinlichkeit keine Verbesserung ergibt? Auch er hat hinsichtlich der ursprünglich getroffenen Wahl nur EINE Gewissheit: Entweder hat er das Auto schon, oder er hat eine Ziege. Rot oder schwarz? Gerade oder ungerade? Alles dasselbe: 1:1.
>Gruss silvereagle, der jetzt ENDLICH auch seinen Senf zu dieser unlösbaren Debatte beitragen konnte! ;-)


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