-->wer will noch mal?
aws.
kiz



<font size="4">Das berühmte Ziegenproblem </font>
Wahrscheinlichkeitsrechnung strapaziert den"gesunden Menschenverstand"

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist reich an Paradoxien. Es gibt viele Aussagen, die dem so genannten gesunden Menschenverstand widersprechen. So wurde zum Beispiel vor einigen Jahren von einer breiteren Ã-ffentlichkeit das so genannte Ziegenproblem diskutiert.


Zur Erinnerung: Der Quizmaster lässt den in die Endrunde gekommenen Kandidaten eine von drei Türen wählen: Hinter einer ist der Hauptgewinn versteckt, hinter den anderen zwei Türen sind Nieten in Form von Ziegen. Der Kandidat wählt"Tür 1", der Quizmaster öffnet"Tür 3", hinter der eine Ziege zu sehen ist. Nun kommt die Pointe: Der Kandidat wird gefragt, ob er noch einmal wechseln möchte, das heißt statt"Tür 1" nun"Tür 2" favorisieren will.


Für Nein spricht, dass sich ja die Position des Hauptgewinns durch die bisherigen Aktionen nicht geändert hat, für Ja, dass durch das Ã-ffnen von"Tür 3" eine neue Situation entstanden ist.


Die Frage nach der richtigen Antwort spaltete sogar ganze mathematische Fachbereiche. Das Problem fand seinen Weg in die großen Zeitschriften und wurde auch unter Nichtmathematikern intensiv diskutiert. Die Ja-Partei fand die Meinung der Nein-Partei naiv bis lächerlich und auf jeden Fall wissenschaftlich - und umgekehrt galt das genauso.


Die Angelegenheit hatte auch noch einen geschlechterspezifischen Aspekt. Eine der ersten Verfechter des Ja war nämlich die amerikanische Journalistin Marylin vos Savant, eine Frau, die durch einen besonders hohen IQ-Wert berühmt geworden war. Es gab nicht wenige Stimmen aus dem Lager der ja vorwiegend männlichen Mathematiker, die ihr rieten, sich nicht in Sachen einzumischen, wo sie als Frau sowieso keinen Durchblick haben könnte.


Aber wer hatte denn nun Recht? Marylin lag richtig: Der Kandidat sollte wechseln, denn seine Gewinnchancen erhöhen sich durch das Wechseln tatsächlich von 1/3 auf 1/2. Und das ist immerhin eine Steigerung der Wahrscheinlichkeit um 50 Prozent.


Mehr zu diesem Thema im Web:
www.mathematik.de/fuenfminuten

-->>Aber wer hatte denn nun Recht? Marylin lag richtig: Der Kandidat sollte wechseln, denn seine Gewinnchancen erhöhen sich durch das Wechseln tatsächlich von 1/3 auf 1/2.

Nein, von 1/3 auf 2/3!!!!!!!!!

Bitte, keine Antworten ;-)

-->

-->>>Aber wer hatte denn nun Recht? Marylin lag richtig: Der Kandidat sollte wechseln, denn seine Gewinnchancen erhöhen sich durch das Wechseln tatsächlich von 1/3 auf 1/2.
>Nein, von 1/3 auf 2/3!!!!!!!!!
>Bitte, keine Antworten ;-)
>

-->>>>Aber wer hatte denn nun Recht? Marylin lag richtig: Der Kandidat sollte wechseln, denn seine Gewinnchancen erhöhen sich durch das Wechseln tatsächlich von 1/3 auf 1/2.
>>Nein, von 1/3 auf 2/3!!!!!!!!!
>>Bitte, keine Antworten ;-)
>>

--------------------
<font color=#0000FF>Das Faszinierende daran ist wirklich, dass offenbar tatsächlich Streit vorprogrammiert ist ;-)

Ich werde alle weiteren Antworten löschen.
Es sei denn, niemand widerspricht zur 2/3 Gewinnchance beim Wechseln ;-)[/b]

-->

-->der Quizmaster Tür 2 öffnet und die Ziege kiekt raus? Ist dann die Antwort 1/2?

-->Habe ich was verpasst oder wieso wird hier gleich so ein Rummel darum gemacht?

Weiß der Quizmaster, wo der Gewinn steckt?

Grüßend,
Morpheus [img][/img]

-->>Aber wer hatte denn nun Recht? Marylin lag richtig: Der Kandidat sollte wechseln, denn seine Gewinnchancen erhöhen sich durch das Wechseln tatsächlich von 1/3 auf 1/2. Und das ist immerhin eine Steigerung der Wahrscheinlichkeit um 50 Prozent.

Nein.

Die Gewinn-Wahrscheinlichkeit von 1/3 gilt VOR dem ersten Experiment.

Die Gewinn-Wahrscheinlichkeit von 1/2 ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit, nachdem das erste Experiment also bereits gelaufen ist.

Das heißt: hätte der Kandidat beim ersten Mal bereits richtig getippt (P = 1/3), wäre die ganze weitere Überlegung sowieso sinnlos. Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Mal falsch zu tippen, ist hingegen 2/3. Die Wahrscheinlichkeit, in dieser Situation(!) beim zweiten Tip richtig zu liegen, ist 1/2. Oder, bezogen auf die anfängliche Lage: 1/2 x 2/3 = 1/3, was man sich ja gleich denken kann.

Die Gewinnchancen ändern sich überhaupt nicht.

-->>Habe ich was verpasst oder wieso wird hier gleich so ein Rummel darum gemacht?

Ja, hast du. Das war etwa vor 1 1/2 Jahren, als das Problem zum Forumproblem wurde und Gemüter erhitzte, das Forum spaltete und einige sich verabschiedet haben, mehr oder weniger lange.

Und fridolin zeigt gerade mit seiner falschen Antwort, dass es sich wieder aufschaukelt.

So wie es ausieht, werde ich gleich den Thread löschen.

Aber ein Weilchen schaue ich mir das noch an ;-)

-->dass er/sie Recht hat und alle anderen davon überzeugen müsste. Ich meine, selbst wenn man im Recht ist, kann man doch einfach hinnehmen, dass ein anderer es eben anders sieht. Oder nicht?

Das gleiche Phänomen tritt bei der Diskussion um Deflation/Inflation etc auf.

Die Welt ist ohnehin ein subjektives Konstrukt. Insofern hat jeder Recht - zumindest in der Welt, die jeder für sich selbst entwirft... und die Defintion des gemeinsamen Bezugsrahmens kann ohnehin nur jemand außerhalb dessen vornehmen. Selbst die Mathematik scheint letztlich jenseits dessen zu liegen, wofür unser Verstand entworfen wurde bzw. er sich entwickelt hat. Man erwartet ja auch nicht von einem Computerprogramm, dass es versteht, warum ein Anwender den PC ausschaltet. Selbst wenn das Programm ein eigenes Bewusstsein entwicken würde, sich also als sich selbst begreifen würde, so wäre es doch im Computer als seinen Bezugsrahmen gefangen.

Ich finde den Mehrwert einer Diskussion gerade darin, dass es verschiedene Ansätze gibt.

Morpheus, der glaubt, dass die Menschheit gut daran täte, die Erziehung dahingehend zu lenken, dass dem Ego weniger Bedeutung zukommt. Ich habe den Verdacht, dass es dazu auch kommen wird, aber erst nachdem das Weltgeschehen die Konzentration vom Ich-Denken zum Wir-Denken lenken wird...

-->>dass er/sie Recht hat und alle anderen davon überzeugen müsste. Ich meine, selbst wenn man im Recht ist, kann man doch einfach hinnehmen, dass ein anderer es eben anders sieht. Oder nicht?
>Das gleiche Phänomen tritt bei der Diskussion um Deflation/Inflation etc auf.

Nein, beim Ziegenproblem gibt es eine eindeutige Lösung, da gibts nichts zu diskutieren - sollte man meinen.

Wenn manche aber selbst eindeutige Lösungen nicht erkennen, dann kann man sich vorstellen, wie schwierig es erst bei nicht-eindeutigen Lösungen wird.

-->Für die anglophilen gibt es hier eine Erklärung (mit Simulationsprogramm):

THE MONTY HALL PROBLEM

Für jene, die es lieber deutschsprachig haben, beschreibt Walter Krämer in"Denkste!" die Lösung:

Es lohnt sich doch, die Ziegentür zu wechseln

Angenommen, ich habe in einem Fernsehquiz gewonnen - ent-
weder ein teures Luxusauto oder aber eine Ziege. Der Moderator
führt mich vor drei Türen, hinter einer das Auto und hinter zwei
anderen jeweils eine Ziege, und ich wähle aufs Geratewohl die er-
ste Tür von links. Um die Spannung zu erhöhen, öffnet der Mo-
derator aber zuerst eine der beiden anderen Türen, sagen wir die
erste Tür von rechts; dahinter wartet eine Ziege. Und dann er-
laubt er mir, meine Wahl zu ändern - statt der ersten Tür von
links die noch geschlossene dritte Tür, in diesem Fall also die
mittlere, zu nehmen. Soll ich nun wechseln oder nicht?
»Natürlich!« sagen die einen. »Mit einer Wahrscheinlichkeit
von 2 /3 ist das Auto hinter einer der anderen, nicht gewählten
Türen. Fällt eine davon aus, so muß die andere mit einer Wahr-
scheinlichkeit von 2 /3 das Auto verstecken. Also verdopple ich
durch einen Wechsel die Wahrscheinlichkeit, das Auto zu gewin-
nen.«
»Was ein Blödsinn!« sagen die anderen. »Ganz gleich, was man
als erstes selber wählt - der Moderator kann immer eine Tür mit
einer Ziege öffnen. Deshalb erfährt man dadurch auch nichts
Neues, das hat man vorher schon gewußt. Und deshalb bleiben
auch die Wahrscheinlichkeiten dieselben; ob ich die Tür wechsle
oder nicht, ich wähle mit einer Wahrscheinlichkeit von 2 /3 eine
Ziege und mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 /3 das Auto. Und
deshalb kann ich auch genausogut bei meiner ersten Wahl ver-
bleiben.«
»Das verstehe ich nicht«, sagt noch ein anderer. »Wenn der Mo-
derator eine Tür mit einer Ziege öffnet, bleiben noch zwei Türen
übrig, eine mit einer Ziege und eine mit einem Auto. Damit steigt
die Wahrscheinlichkeit für Auto bei beiden Türen auf 1 /2.«
Wer hat hier recht?
Zunächst ist klar: über unsere zuerst gewählte Tür erfahren wir
in der Tat nichts Neues. Denn ganz gleich, ob wir das Auto oder
eine Ziege wählen - der Moderator kann immer eine Tür mit ei-
ner Ziege öffnen (wobei ich hier einmal unterstelle, daß er das
auch tatsächlich tut; dazu später mehr). Damit bleibt die Wahr-
scheinlichkeit, daß wir von Anfang an das Auto haben, die glei-
che wie vorher, nämlich 1 /3. Oder anders ausgedrückt, wenn wir
dieses Spiel - hypothetisch - sehr oft spielen, und unsere erste
Wahl nie ändern, werden wir auf Dauer in einem Drittel aller Fäl-
le das Auto gewinnen.
Aber dabei darf man nicht vergessen, daß die Auto-Wahrschein-
lichkeiten für die beiden anderen Türen sich sehr wohl ändern. Für
die vom Moderator geöffnete, die mit der Ziege dahinter, ist das so-
fort klar - die Wahrscheinlichkeit für »Auto« sinkt auf Null. Und
da das Auto mit einer Wahrscheinlichkeit von l hinter einer der
Türen wartet, hinter einer, nämlich unserer ersten Wahl, mit einer
Wahrscheinlichkeit von 1 /3, hinter einer anderen, nämlich der vom
Moderator geöffneten, mit einer Wahrscheinlichkeit von 0, ver-
bleibt für die letzte Tür nur noch die Wahrscheinlichkeit von 2 /3.
Mit anderen Worten, es ist äußerst lohnend, auf die Tauschofferte
einzugehen.
Das sieht man aber auch ohne jede Wahrscheinlichkeitsrech-
nung. Denn wenn wir selbst in einem Drittel aller Fälle von An-
fang an das Auto wählen, dann muß in den restlichen zwei Drit-
teln aller Fälle, d.h. immer dann, wenn wir nicht schon selbst das
Auto geraten haben, dieses hinter der verbleibenden Tür stecken.
Und damit lohnt es sich auf jeden Fall, sofern erlaubt, die Tür zu
wechseln.
Natürlich kann man dabei auch hereinfallen: Ich habe das Au-
to richtig geraten, und der böse Moderator überredet mich, statt-
dessen eine Ziegentür zu wählen. Das wird, wenn der Kandidat
oder die Kandidatin sich auf einen Wechsel einläßt, auf Dauer in
einem Drittel aller Fälle auch tatsächlich so geschehen. Aber in
den anderen zwei Dritteln aller Fälle, in denen wir nicht schon
vorher die richtige Tür geraten hatten, wird der Moderator bzw.
seine Fernsehanstalt um ein Auto ärmer.
Das sieht man noch besser an einem extremen Beispiel mit
hundert Türen, einem Auto und 99 Ziegen. Hier ist die Wahr-
scheinlichkeit nur eins zu hundert, daß man gleich zu Anfang auf
das Auto tippt. Jetzt öffnet der Moderator 98 der verbleibenden
99 Türen, hinter jeder eine Ziege. Soll man wechseln?
Ich glaube, spätestens hier würde wohl jeder gerne wechseln.
Zwar ist die Wahrscheinlichkeit von »Auto« für die zuerst ge-
wählte Tür die gleiche wie zuvor, nämlich ein Prozent, aber mit
einer überwältigend größeren, nämlich 99-prozentigen Wahr-
scheinlichkeit steht das Auto hinter der zweiten noch verschlos-
senen Tür.
Stattdessen denken manche aber so: »Nachdem der Moderator
eine Tür geöffnet hat, bleiben noch zwei Türen übrig; hinter ei-
ner davon das Auto, also ist die neue (die sogenannte »bedingte«)
Wahrscheinlichkeit für Auto für jede Tür 1 /2.«
Das ist aber falsch, denn die verbleibenden zwei Möglichkeiten
sind nicht gleich wahrscheinlich: Die bedingte Wahrscheinlich-
keit für »Ziege hinter linker Tür, gegeben Moderator öffnet rech-
te Tür« ist nicht die gleiche wie die bedingte Wahrscheinlichkeit
für »Ziege hinter mittlerer Tür, gegeben Moderator öffnet rechte
Tür«. Vielmehr ist die erste dieser bedingten Wahrscheinlichkei-
ten die gleiche wie die unbedingte Wahrscheinlichkeit, also 1 /3,
und deshalb muß die zweite bedingte Wahrscheinlichkeit 2 /3 sein.
Für Leute, die gern Haare spalten: Man muß hier streng ge-
nommen unterscheiden zwischen der bedingten Wahrscheinlich-
keit, durch einen Wechsel zu gewinnen, gegeben der Moderator
öffnet irgendeine Tür, und der bedingten Wahrscheinlichkeit,
durch einen Wechsel zu gewinnen, gegeben der Moderator öffnet
eine ganz bestimmte Tür (etwa die rechte). Hier haben wir uns
nur mit der ersten Wahrscheinlichkeit beschäftigt; diese ist und
bleibt 2 /3, ganz gleich nach welcher Regel der Moderator vorgeht,
Hauptsache, er öffnet eine Ziegentür. Die zweite Wahrscheinlich-
keit dagegen hängt durchaus auch noch von dem Moderator ab.
Angenommen etwa, der Moderator geht nach der folgenden Re-
gel vor: »Falls Kandidat linke Tür wählt: Ã-ffne die rechte Tür
nur dann, wenn das Auto hinter der mittleren Tür versteckt ist;
ansonsten öffne die mittlere Tür.« In diesem Fall beträgt die be-
dingte Wahrscheinlichkeit für »Gewinn durch Wechsel, gegeben
der Moderator öffnet die rechte Tür« ganz offensichtlich 1: die
rechte Tür wird nur dann geöffnet, wenn das Auto hinter der
mittleren wartet, also gewinne ich durch einen Wechsel auf jeden
Fall. Die bedingte Wahrscheinlichkeit für »Gewinn durch Wech-
sel, gegeben der Moderator öffnet die mittlere Tür« beträgt da-
gegen nur 1 /2 (denn in der Hälfte der Fälle, in denen der Modera-
tor die mittlere Tür öffnet, wartet das Auto rechts, in der anderen
Hälfte der Fälle links). In diesem Fall könnten wir also auch bei
unserer ersten Wahl verbleiben.
Der Punkt ist aber, die Gesamt-Wahrscheinlichkeit für »Ge-
winn durch Wechsel« ist weiterhin 2 /3. Sie wird berechnet als
W(Gewinn|Moderator öffnet rechte Tür) x W(Moderator
öffnet rechte Tür)
+ W(Gewinn|Moderator öffnet mittlere Tür)
x W(Moderator öffnet mittlere Tür)

= 1 x 1/3 + 1/2 x 2/3 = 2/3

In dieser Betrachtungsweise liefert die geöffnete Tür auch Infor-
mationen über unsere eigene Tür: Wenn der Moderator die rechte
Tür öffnet, wissen alle Eingeweihten genau: wir haben das Auto
nicht. Aber das wissen sie nur deshalb, weil sie erstens die Ent-
scheidungsregel und zweitens die vom Moderator geöffnete Tür
genau kennen. Wenn man den Eingeweihten nichts anderes sagt
als »Der Moderator hat eine Tür geöffnet, soll der Kandidat jetzt
wechseln?«, können sie uns nur den gleichen Rat geben, den wir
uns auch selbst gegeben hätten, nämlich wechseln.
Aber wo wir schon beim Haarespalten sind: wir haben bei diesen
Überlegungen immer vorausgesetzt, daß der Moderator eine Tür
öffnen muß, und immer eine Tür mit einer Ziege öffnet. Wenn
der Moderator selbst die Autotür nicht kennt, oder die Autotür
zwar kennt, aber nur dann eine Ziegentür öffnet, wenn wir selber
schon das Auto haben, gelten nochmals andere Gesetze.
Beginnen wir mit dem ersten Fall. Wenn der Moderator selbst
die Autotür nicht kennt, wird er diese mit einer Wahrscheinlich-
keit von 1 /3 öffnen. Damit wäre dann das Spiel zu Ende. Die be-
dingte Wahrscheinlichkeit für »Auto hinter unserer eigenen Tür«
sinkt auf Null, aber leider dürfen wir dann nicht mehr wechseln.
Ã-ffnet der Moderator dagegen per Zufall eine Ziegentür, steigt
die bedingte Wahrscheinlichkeit für »Auto hinter meiner eigenen
Tür« auf 1 /2. Jetzt könnten wir zwar wechseln, aber es lohnt sich
nicht, die bedingte Wahrscheinlichkeit für »Auto hinter der an-
deren Tür« ist ebenfalls 1 /2. Anders als in der Standardversion lie-
fert der Moderator also hier auch Informationen über unsere ei-
gene Tür - nur nützen sie uns nichts.
Nochmals anders ist die Lage im zweiten Fall, also wenn der
Moderator nur dann eine Ziegentür öffnet, wenn wir selber
schon das Auto haben. Wenn wir wissen, daß der Moderator so
vorgeht, liefert er uns damit natürlich ebenfalls Informationen
über unsere eigene Tür, jetzt aber äußerst nützliche. Denn dann
wissen wir mit Sicherheit: Wenn der Moderator eine Tür öffnet,
dann nur, weil wir selber schon das Auto haben, und deshalb
wechseln wir natürlich nicht.
Solche Ãœberlegungen kann man beliebig weitertreiben, etwa
indem wir unterstellen, daß der Moderator seine Strategie vor der
Sendung auswürfelt, aber das führt hier zu weit. Der Punkt ist
nur, daß unsere eigene Optimalstrategie sehr von der Strategie
des Moderators und von unserem Wissen darüber abhängt, und
daß die Regel »Immer wechseln«, und die resultierende Er-
höhung unserer Gewinnwahrscheinlichkeit von 1 /3 auf 2 /3, nur un-
ter bestimmten, allerdings sehr realistischen Voraussetzungen
über das Verhalten des Moderators gilt, nämlich nur dann, wenn
der Moderator grundsätzlich, ganz gleich ob wir das Auto haben
oder nicht, immer eine Tür mit einer Ziege öffnet.
Dieses sogenannte Ziegenproblem kursiert in verschiedenen Ver-
kleidungen schon seit Jahrhunderten in den Mathematikbüchern
des Abendlandes. Am bekanntesten sind die drei Todeskandida-
ten: Zwei von dreien müssen sterben, mehr ist nicht bekannt.
Jetzt fragt erste Kandidat den Gefängniswärter: »Hör mal, kannst
Du mir verraten, wer von den beiden anderen dran glauben muß?
Einer ist auf jeden Fall an der Reihe, also verrätst Du kein Ge-
heimnis.« Der Wärter überlegt und sagt: »Irgendwie hast Du
recht. Also, X ist fällig.« Jetzt ist der erste Todeskandidat erleich-
tert, denn der denkt: »Bleiben zwei übrig, einer davon überlebt,
also ist meine eigene Ãœberlebenswahrscheinlichkeit von 1 /3 auf 1 /2
gestiegen.«
Das ist aber ein Trugschluß. Denn wenn der Wärter auf jeden
Fall antwortet (entspricht dem Moderator, der immer eine Tür
öffnet), und auf jeden Fall einen Todeskandidaten nennt (ent-
spricht dem Moderator, der immer eine Ziegentür öffnet), erfährt
der erste Todeskandidat über sich selbst nichts Neues: die Wahr-
scheinlichkeit zu überleben ist vorher die gleiche wie nachher,
nämlich 1 /3. Grund zur Freude hat allein der dritte Kandidat,
denn seine Ãœberlebenswahrscheinlichkeit hat sich durch die In-
diskretion des Wärters von 1 /3 auf 2 /3 verdoppelt.
Literatur: »Schönheit des Denkens«, Der Spiegel 34/1991, 212-213, sowie
Leserbriefe dazu in Nr. 36/91; H.-W. Brachinger: »Nimm stets die andere -
Zur Diskussion um das Drei-Türen-Problem«, WISU - Das Wirtschaftsstu-
dium 1991, 887-890; J.P Morgan et al.: »Let's make a deal: the players dilem-
ma«, The American Statistician 45, 1991, 284-287; Gero von Randow: Das
Ziegenproblem, Reinbek 1992 (Rowohlt); Leonard Gillmanri: »The car and
the goat«, American Mathematical Monthly 1992, S. 3-7; Ed Barbeau: »The
problem of the car and the goats«, College Mathematics Journal 1993,
S. 149-154.

-->>>Habe ich was verpasst oder wieso wird hier gleich so ein Rummel darum gemacht?
>Ja, hast du. Das war etwa vor 1 1/2 Jahren, als das Problem zum Forumproblem wurde und Gemüter erhitzte, das Forum spaltete und einige sich verabschiedet haben, mehr oder weniger lange.
>Und fridolin zeigt gerade mit seiner falschen Antwort, dass es sich wieder aufschaukelt.
>So wie es ausieht, werde ich gleich den Thread löschen.
>Aber ein Weilchen schaue ich mir das noch an ;-)


Nee, leider wird da ein bißchen was übersehen. Die Aufgabenstellung, so wie sie auf dem zitierten Website dargestellt wird, weicht in einem entscheidenden Punkt vom Forumsbeitrag hier ab. Sie unterstellt nämlich, daß es so etwas wie eine"Quizmaster-Strategie" gibt.

In einem typischen Ratespiel weiß der Quizmaster selber nicht, was die letztlich richtigen Antworten sind, also hinter welcher Tür sich der Gewinn verbirgt (Hintergrund: Beeinflussung des Kandidaten, juristische Probleme, etc). Daß er zunächst eine andere Tür öffnet als geraten, hat daher überhaupt keinen Hintergrund.

Merke: über Probleme diskutieren lohnt sich erst, wenn diese genau definiert sind - was hier leider nicht der Fall ist, bzw. wo verschiedene Personen mit verschiedenen Grundannahmen operieren.

Und damit jetzt Schluß damit.

-->Auch von Krämer:

Der Bankhalter präsentiert drei Karten, alle beid-
seitig bemalt, die erste auf beiden Seiten schwarz, die zweite auf
beiden Seiten rot, und die dritte auf der einen Seite rot und auf
der anderen Seite schwarz; er wirft die Karten in einen Hut, zieht
eine davon zufällig heraus (noch besser: läßt uns selber eine zie-
hen), alle sehen nur die Oberseite, und dann wettet der Bankhal-
ter zehn Mark, daß die unsichtbare Unterseite dieselbe Farbe hat
wie die Oberseite: Ist die Oberseite rot, so wettet er auf Rot, und
ist die Oberseite schwarz, so wettet er auf Schwarz.
Angenommen, die Oberseite ist Schwarz. Soll man bei dieser
Wette zehn Mark dagegen halten oder nicht?

-->>>>Habe ich was verpasst oder wieso wird hier gleich so ein Rummel darum gemacht?
>>Ja, hast du. Das war etwa vor 1 1/2 Jahren, als das Problem zum Forumproblem wurde und Gemüter erhitzte, das Forum spaltete und einige sich verabschiedet haben, mehr oder weniger lange.
>>Und fridolin zeigt gerade mit seiner falschen Antwort, dass es sich wieder aufschaukelt.
>>So wie es ausieht, werde ich gleich den Thread löschen.
>>Aber ein Weilchen schaue ich mir das noch an ;-)


>Nee, leider wird da ein bißchen was übersehen. Die Aufgabenstellung, so wie sie auf dem zitierten Website dargestellt wird, weicht in einem entscheidenden Punkt vom Forumsbeitrag hier ab. Sie unterstellt nämlich, daß es so etwas wie eine"Quizmaster-Strategie" gibt.
>In einem typischen Ratespiel weiß der Quizmaster selber nicht, was die letztlich richtigen Antworten sind, also hinter welcher Tür sich der Gewinn verbirgt (Hintergrund: Beeinflussung des Kandidaten, juristische Probleme, etc). Daß er zunächst eine andere Tür öffnet als geraten, hat daher überhaupt keinen Hintergrund.
>Merke: über Probleme diskutieren lohnt sich erst, wenn diese genau definiert sind - was hier leider nicht der Fall ist, bzw. wo verschiedene Personen mit verschiedenen Grundannahmen operieren.

<font color=#0000FF>Irrtum, in der Aufgabenstellung weiß der Quizmnaster, wo sich das Auto befindet und er öffnet immer eine Tür, hinter der es nicht ist. Aber falls er es nicht wüsste und ab und zu das Auto zeigte, stiegen die Chancen noch mehr. </font>

>Und damit jetzt Schluß damit.

<font color=#0000FF>Gerne.</font>

-->>Die Gewinnchancen ändern sich überhaupt nicht.

Doch. Hier handelt es sich um ein zusammenhängendes
Experiment, vergleichbar mit dem Ziehen einer Kugel
(von dreien) aus einer Urne mit zurücklegen.

Gruß

-->...das ist ein deutlich höhrer vorteil als z.B. die Bank beim Roullette hat. Die Chance steht ja von der WEahrscheinlichkeit her bei 2/1 dass eine gleichfarbige Karte gezogen wird.

Also besser nicht dagegen wetten.

War das die richtige Antwort?

Gruss tf

-->Ja, stimmt. Darum ging es mir auch nicht. Ich wollte nur andeuten, dass die Ursache dafür, dass eine Diskussion nicht zu einem Ergebnis sondern gar zu Anfeindungen und dergleichen führt entweder
- in mangelnder Fähigkeit und/oder
- in einem zu sehr ausgeprägten Ego
der Diskussionspartner begründet ist.

Morpheus

-->Ein nur scheinbar faires Kartenspiel

Das folgende Kartenspiel soll auf Jahrmärkten, und wo immer
sich Interessenten dafür finden, schon manchen um viel Geld er-
leichtert haben: Der Bankhalter präsentiert drei Karten, alle beid-
seitig bemalt, die erste auf beiden Seiten schwarz, die zweite auf
beiden Seiten rot, und die dritte auf der einen Seite rot und auf
der anderen Seite schwarz; er wirft die Karten in einen Hut, zieht
eine davon zufällig heraus (noch besser: läßt uns selber eine zie-
hen), alle sehen nur die Oberseite, und dann wettet der Bankhal-
ter zehn Mark, daß die unsichtbare Unterseite dieselbe Farbe hat
wie die Oberseite: Ist die Oberseite rot, so wettet er auf Rot, und
ist die Oberseite schwarz, so wettet er auf Schwarz.
Angenommen, die Oberseite ist Schwarz. Soll man bei dieser
Wette zehn Mark dagegen halten oder nicht?
»Warum nicht«, denkt jetzt so mancher. »Die Karte mit den
zwei roten Seiten liegt ja noch im Hut. Also muß die Karte auf
dem Tisch entweder die Rot-Schwarz-Karte oder die Schwarz-
Schwarz-Karte sein. Bei der ersten liegt die rote Seite unten, bei
der zweiten liegt eine schwarze Seite unten. Beide Karten sind
gleich wahrscheinlich, also sind auch die beiden Farben gleich
wahrscheinlich. Die Wette ist fair, ich kann zehn Mark dagegen
halten.«
Das ist aber falsch - diese Wette ist nicht fair (wie die meisten
Wetten, die uns von anderen angeboten werden). Auch hier ge-
winnt auf lange Sicht die Bank, denn Schwarz ist viele wahr-
scheinlicher als Rot.
Die beiden möglichen Karten, von denen eine vor uns auf dem
Spieltisch liegt, sind zwar gleich wahrscheinlich - entweder liegt
da die Rot-Schwarz-Karte oder die Schwarz-Schwarz-Karte, jede
mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 -, aber die beiden Farben
sind nicht gleich wahrscheinlich. Denn Rot kann nur auf eine
Weise unten liegen - als Rückseite von Schwarz-Rot. Schwarz
dagegen kann auf zwei Weisen unten liegen: als Rückseite von
Schwarz-Schwarz, aber auch als Vorderseite von Schwarz-
Schwarz, so wie in Abbildung 5.2, wo die drei Möglichkeiten
nochmals aufgelistet sind. Die obere Seite der Karte ist dabei die-
jenige, die beim Ziehen aus dem Hut tatsächlich oben liegt - also
in unserem Beispiel immer Schwarz. Aber diese schwarze Seite
kann auf drei verschiedene Arten oben liegen: als Vorderseite von
Schwarz-Rot, als Vorderseite von Schwarz-Schwarz und als
Rückseite von Schwarz-Schwarz. Aber nur in einem dieser drei
Fälle zeigt die Unterseite eine andere Farbe als die obere Seite.
Dieser Kartentrick ist eine Variante des berühmten Bertrand-
schen Schachtelparadoxons (nach dem französischen Mathemati-
ker Joseph Bertrand, 1822-1900): Drei Schachteln enthalten zwei
Goldmünzen (die erste Schachtel), zwei Silbermünzen (die zwei-
te Schachtel) und eine Gold- und eine Silbermünze (die dritte
Schachtel). Jetzt entnehmen wir einer Schachtel eine Münze und
stellen fest: sie ist aus Gold. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind
beide Münzen in der Schachtel Gold?
Hier argumentieren viele wie der Wettgegner des Bankhalters
bei unserem Kartenspiel: »Die Silber-Silber-Schachtel ist es nicht.
Also habe ich entweder in die Gold-Gold- oder die Gold-Silber-
Schachtel erwischt, und da beide gleich wahrscheinlich sind, sind
mit einer Wahrscheinlichkeit 1/2 beide Münzen aus Gold.«
In Wahrheit sind natürlich mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3
beide Münzen aus Gold, aus dem gleichen Grund, warum auch
mit einer Wahrscheinlichkeit von 2 /3 beide Farben auf der Spiel-
karte unseres Jahrmarktgauklers identisch sind: Weil in zwei Fäl-
len von drei sowohl die beiden Seiten der Spielkarte wie die bei-
den Münzen in der Schachtel die gleiche Farbe haben.
Dieser Fehler, nämlich daß wir beim Abzählen aller gleich
wahrscheinlichen Ausgänge eines Zufallsexperimentes eine oder
mehrere Varianten übersehen, passiert selbst großen Mathemati-
kern. Der Franzose Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783) z.B.
beziffert in seiner zusammen mit Denis Diderot herausgegebenen
berühmten 33-bändigen Encyclopédie die Wahrscheinlichkeit für
»mindestens einmal Kopf« beim zweimaligen fairen Münzwurf
mit 2 /3 und nicht wie es richtig wäre mit 3 /4 (nachzulesen unter
dem Stichwort »Croix on pile« in der Ausgabe von 1754). So wie
der Wettgegner unseres Bankhalters hatte er argumentiert: »Es
gibt die drei Möglichkeiten ›einmal Kopf‹, ›zweimal Kopf‹ und
›keinmal Kopf‹, alle gleich wahrscheinlich, also beträgt die Wahr-
scheinlichkeit für ›mindestens einmal Kopf‹ genau 2 /3.«
Dabei hatte d'Alembert jedoch vergessen, daß »einmal Kopf«
sowohl als Kopf-Zahl wie als Zahl-Kopf, also doppelt so häufig
auftritt wie »zweimal Kopf« und »keinmal Kopf«.
Auch Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), der Mitbegrün-
der der Differentialrechnung und einer der größten Mathemati-
ker aller Zeiten, hat sich hier einmal einen kleinen Schnitzer er-
laubt: Es sei ihm unbegreiflich, wie ihm erfahrene Würfelspieler
versicherten, warum bei zwei Würfen die Augensumme neun
wahrscheinlicher sei als die Augensumme zehn, aber bei drei
Würfen die Augensumme zehn wahrscheinlicher sei als die Au-
gensumme neun. Denn schließlich könne die Summe neun wie
die Summe zehn in beiden Fällen auf gleich viele Arten anfallen,
also müßten die Augensummen in beiden Fällen gleich wahr-
scheinlich sein.
Das ist aber falsch, wie wir uns durch Auflisten aller Möglich-
keiten für eine Augensumme neun bzw. für eine Augensumme
zehn leicht überzeugen. Bei zwei Würfen können diese Summen
auf folgende Weisen entstehen:
Augensumme neun: (3,6) (6,3) (4,5) (5,4)
Augensumme zehn: (4,6) (6,4) (5,5)
Sowohl die Summe neun wie die Summe zehn kommen durch
zwei Zahlenpaare zustande: die Summe neun durch drei und
sechs sowie durch vier und fünf, die Summe zehn durch vier und
sechs sowie durch fünf und fünf. Insofern hatte Leibniz also
recht - beide Augensummen lassen sich durch je zwei Summan-
den bilden. Aber er hatte übersehen, daß hier auch die Reihenfol-
ge der Summanden wichtig, und die Summe neun auf vier Arten,
die Summe zehn aber nur auf drei Arten möglich ist.
Bei drei Würfen kehrt sich diese Reihenfolge um. Hier können
wir auf 25 Arten die Augensumme neun und auf 27 Arten die
Augensumme zehn erreichen, und zwar folgendermaßen:
Augensumme neun
(1,2,6) (1,6,2) (2,1,6) (2,6,1) (6,2,1) (6,1,2) (1,3,5) (1,5,3) (3,1,5) (3,5,1)
(5,1,3) (5,3,1)
(2,3,4) (2,4,3) (3,2,4) (3,4,2) (4,2,3) (4,3,2) (1,4,4) (4,1,4) (4,4,1)
(2,2,5) (2,5,2) (5,2,2)
(3,3,3)
Augensumme zehn
(1,3,6) (1,6,3) (3,6,1) (3,1,6) (6,1,3) (6,3,1)
(2,3,5) (2,5,3) (3,2,5) (3,5,2) (5,2,3) (5,3,2)
(1,4,5) (1,5,4) (4,1,5) (4,5,1) (5,1,4) (5,4,1)
(3,3,4) (3,4,3) (4,3,3) (2,2,6) (2,6,2) (6,2,2) (2,4,4) (4,2,4) (4,4,2)
Bei zusammen 216 Möglichkeiten erhalten wir also eine Wahr-
scheinlichkeit von 25 /216 für eine Augensumme neun und eine
Wahrscheinlichkeit von 27 /216 für eine Augensumme zehn.
Wie viele andere hatten d'Alembert und Leibniz auch hier ver-
mutlich nur gezählt, mit welchen Zahlen neun bzw. zehn erreich-
bar sind: in beiden Fällen mit vier Zahlenmengen. Nur sind die
Summen deshalb noch nicht gleich wahrscheinlich, weil sich die
Summanden auf verschieden viele Weisen zu den Summen kom-
binieren lassen.

(Das Buch kursiert auch in einer PDF-Version in den Filesharing-Programmen (eDonkey etc.))

Inhalt

Vorwort.............................................................................................9
1. Kapitel: Zufall und Wahrscheinlichkeit.................................... 13
Die meisten »Zufälle« sind alles andere als
unwahrscheinlich.............................................................................13
Parapsychologie und Todesträume..................................................21
Der heimwehkranke Blumentopf....................................................23
Das Geburtags-Paradox...............................................................28
2.. Kapitel: Auch Irrfahrten haben ihre Regeln........................... 35
Ein populärer Trugschluß zum Gesetz der Großen Zahl.................35
Muster in Zufallsfolgen oder der Affe und das Neue
Testament........................................................................................42
Random Walks und ewige Verlierer...............................................50
3. Kapitel: Irrtum und Wahrscheinlichkeit im Alltag................... 55
Warum fahren Aufzüge so oft nach unten?.....................................55
Haben Männer mehr Schwestern als Frauen?.................................58
Das »global village«-Paradox..........................................................60
Wie wahrscheinlich sind die Anfangsziffern l bis 9?......................66
4.Kapitel: Glücksspiele und Lotterien......................................... 71
Man kann beim Lotto auch auf lange Sicht gewinnen... 71
Populäre Trugschlüsse beim Roulette 82
Eine peinliche Panne bei der Glücksspirale 87
Es lohnt sich doch, die Ziegentür zu wechseln 90
Vorsicht ist nicht immer die Mutter der Porzellankiste... 97
5.Kapitel: Die seltsame Logik der Spielkarten und Würfel....... 101
Ein nur scheinbar faires Kartenspiel.............................................. 101
Der folgenschwere Irrtum des Chevalier de Méré......................... 107
Was chinesische Würfel, lahme Pferde und Erdbeertorten
gemeinsam haben..........................................................................111
Das Paradox des zweiten Asses..................................................... 117
6. Kapitel: Unerwartete Erwartungswerte................................. 121
Regression zum Mittelmaß, oder warum das Essen beim
zweiten Mal oft schlechter schmeckt............................................ 121
Junge oder Mädchen: eine falsche Strategie.................................. 125
Gewinne ohne Grenzen und das St. Petersburg-Paradox.............. 127
Der Tausch der Briefe, oder wie man Geld aus nichts
Erzeugt.......................................................................................... 131
7.Kapitel: Die Basis-Falle und andere Trugschlüsse aus
bedingten Wahrscheinlichkeiten............................................... 137
Sicherheitsgurte sind gefährlich.................................................... 137
Frauen haben es an Universitäten schwerer.................................. 143
Die Krebs-Gefahr nimmt zu.......................................................... 147
Das Simpson-Paradox und Mittelwerte......................................... 152
Leben Ehemänner wirklich länger?............................................... 154
8.Kapitel: Induktion und Illusion:
Fehlschlüsse aus Stichproben.................................................. 159
Die falsche Signifikanz der Signifikanz........................................ 159
Justizirrtümer und die zwei Fehler beim statistischen
Testen........................................................................................ 165
Verzerrte Stichproben und das Ende der Menschheit....................174
Epilog: Warum irren wir uns ausgerechnet bei
Wahrscheinlichkeiten?.............................................................. 179

-->Ist doch witzig, oder?

winkäää
stocksorcerer

-->>Die Gewinnchancen ändern sich überhaupt nicht.

Die Chance hat sich durch das offene Tor 3 von 1/3 auf 1/2 erhöht. Es bringt aber überhaupt nix, noch mal zu wählen, weil die Chance trotzdem bei 50:50 bleibt.

-->

-->

-->

-->

-->Wahrscheinlichkeit A"von Anfang bis Ende" (Gesamtwahrscheinlichkeit): 2/3
Wahrscheinlichkeit N"nach Ã-ffnen der Tür" (Momentanwahrscheinlichkeit): 1/2

Rechnet sich auch perfekt ineinander um, denn:
Wahrscheinlichkeit W"gleich beim ersten Mal die richtige Tür treffen": 1/3

Gesamtwahrscheinlichkeit G ist nun W plus (1-W) mal N (Momentanwahrscheinlichkeit für den Fall, daß man beim ersten Raten falsch lag).

Also

G = 1/3 + (1-1/3)*1/2 = 2/3

q.e.d.

Kein mathematisches, sondern sprachliches Problem. Eigentlich sollte Gesamtwahrscheinlichkeit gemeint sein. Das kapieren aber viele Leute nicht. Deshalb ist ja auch der schwierigste Teil einer Matheaufgabe, den Text zu verstehen.

JN

-->Hallo JN,

Du schreibst weiter unten, dass sein kein mathematisches sondern ein sprachliches Problem. Ich denke, dass Problem liegt darin praezise Definitionen zu finden und diese konsequent und logisch weiterzubenutzen. Zum Beispiel schreibst Du von einer
>Wahrscheinlichkeit A"von Anfang bis Ende" (Gesamtwahrscheinlichkeit): 2/3
, die Du dann im weiteren nicht mehr benutzt und statt dessen eine Gesamtwahrscheinlichkeit G einfuehrst. Auch die Definition"von Anfang bis Ende" ist nicht hilfreich.

>Wahrscheinlichkeit N"nach Ã-ffnen der Tür" (Momentanwahrscheinlichkeit): 1/2

Momentanwahrscheinlichkeit klingt gut, aber auch diese ist leider nicht klar definiert.
Und deshalb kann ich auch nicht nachvollziehen, wenn Du meinst:

>Rechnet sich auch perfekt ineinander um, denn:
>Wahrscheinlichkeit W"gleich beim ersten Mal die richtige Tür treffen": 1/3

Das ist mal eine Definition, die ich verstanden habe.

>Gesamtwahrscheinlichkeit G ist nun W plus (1-W) mal N (Momentanwahrscheinlichkeit für den Fall, daß man beim ersten Raten falsch lag).

Hier hast Du mich verloren. Warum ist das so? Welcher mathematische Satz liegt dem zugrunde.

>Also
>G = 1/3 + (1-1/3)*1/2 = 2/3
>q.e.d.

oder auch nicht!

>Kein mathematisches, sondern sprachliches Problem. Eigentlich sollte Gesamtwahrscheinlichkeit gemeint sein. Das kapieren aber viele Leute nicht. Deshalb ist ja auch der schwierigste Teil einer Matheaufgabe, den Text zu verstehen.
>JN

Um aber nicht nur Kritik zu auessern noch eine Anmerkung:
Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, wenn man wechselt, nachdem der Moderator die Tuer aufgemacht hat, ist in der der Tat 2/3...

Wenn ich Deine Momentanwahrscheinlichkeit deuten soll, so faellt mir dazu ein:
Wenn jemand in das Studio kommt und die Vorgeschichte nicht kennt, also nur 2 geschlossene Tueren und eine offene Tuer sieht und weiss, dass hinter einer (der geschlossenen Tueren) ein Ziege ist und hinter der anderen nicht, dann ist die Wahrscheinlichkeit fuer ihn 1/2 die richtige Tuer zu finden.

Gruesse von der
Ziegenbirne

-->Nehmt als Defintion die Bezugswahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt x1,x2 usw.
Und dann wäre x1 der Bezugszeitpunkt zum Zeitpunkt des Ã-ffnens vor der ersten Tür und x2 der Bezugszeitpunkt vor der Wahl des Ã-ffnens vor der zweiten Tür.
Ab dann ist alles paletti.

Gruß EUKLID
Das ganze Geheimnis lag in der Tat in der sprachlichen Verwirrung.
Was in der Mathematik immer wieder zur Verwirrung führt ist der sprachliche Teil und die exakte Definition der Sache.