ID Number: A000045 (Formerly M0692 and N0256)
Sequence: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,
4181,6765,10946,17711,28657,46368,75025,121393,196418,
317811,514229,832040,1346269,2178309,3524578,5702887,
9227465,14930352,24157817,39088169
Name: Fibonacci numbers: F(n) = F(n-1) + F(n-2), F(0) = 0, F(1) = 1, F(2) = 1,...
Comments: F(n+1) = number of binary sequences of length n that have no consecutive
0's.
F(n+2) = number of subsets of {1,2,...,n} that contain no consecutive
integers.
F(n+1) = number of tilings of a 2xn rectangle by 2x1 dominos.
Positive terms are the solutions to z = 2xy^4 + (x^2)y^3 - 2(x^3)y^2 - y^5
- (x^4)y + 2y for x,y >= 0 (Ribenboim, page 193). When x=F(n), y=F(n +
1) and z>0 then z=F(n + 1).
References G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers.
3rd ed., Oxford Univ. Press, London and New York, 1954, p. 148.
V. E. Hoggatt, Jr., Fibonacci and Lucas Numbers. Houghton, Boston, MA,
1969.
D. E. Knuth, The Art of Computer Programming. Addison-Wesley,
Reading, MA, Vol. 1, p. 78.
J. Roberts, Lure of the Integers, Math. Assoc. America, 1992, p. 288.
Links: H. Bottomley and N. J. A. Sloane, Illustration of initial terms: the Fibonacci tree
C. K. Caldwell, Fibonacci Numbers
P. J. Cameron, Sequences realized by oligomorphic permutation groups, J. Integ. Seqs. Vol. 3 (2000), #00.1.5.
INRIA Algorithms Project, Encyclopedia of Combinatorial Structures 9
B. Kelly, Fibonacci and Lucas factorizations
R. Knott, Fibonacci numbers with tables of F(0)-F(500)
Hisanori Mishima, Factorizations of many number sequences
E. W. Weisstein, Link to a section of The World of Mathematics.
E. W. Weisstein, Link to a section of The World of Mathematics.
E. W. Weisstein, Link to a section of The World of Mathematics.
E. W. Weisstein, Link to a section of The World of Mathematics.
Index entries for"core" sequences
Formula: Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, 1996.
F(n) = ((1+sqrt(5))^n-(1-sqrt(5))^n)/(2^n*sqrt(5)). G.f.:
x/(1-x-x^2).
F(n+1) = SUM(0 < j <= [n/2]; binomial(n-j, j))
[0 1; 1 1]^n [0 1] = [F(n); F(n+1)]
x | F(n) ==> x | F(kn).
Maple: with(combinat): A000045:=proc(n) fibonacci(n); end;
Mma: Table[ Fibonacci[ k ],{k,1,50} ]
Program: (PARI.2.0.11) a(n)=if(n<=1, n, a(n-1)+a(n-2));
vector(35,n,a(n))
(PARI) F(n)=round((1+sqrt(5))^n/2^n/sqrt(5))
(PARI) F(n)=if(n<2,n>0,F(n-1)+F(n-2))
See also: A000032(n)=A000045(n+1)+A000045(n-1), n>0. Cf. A060441.
See also A000213, A000288, A000322, A000383, A060455.
Keywords: core,nonn,easy,nice
Offset: 0
Author(s): njas


<font color="00FF00">Link: www.research.att.com/~njas/sequences/[/b]</font>

Der Kerl hat da über 60k Zahlenreihen stehen. Wer sie alle aufrufen will, braucht Jahre. Aber vielleicht... ist ja noch was Schönes drunter?

Gruß

d.


<center>

<HR>

</center>

Hallo"Dottore"
n Sie den Fehler auf

Seite"drei" schon entdeckt?!

Nur sol als kleiner allgemeiner Hinweis!


PFG

AU
habe

>ID Number: A000045 (Formerly M0692 and N0256)
>Sequence: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,
> 4181,6765,10946,17711,28657,46368,75025,121393,196418,
> 317811,514229,832040,1346269,2178309,3524578,5702887,
> 9227465,14930352,24157817,39088169
>Name: Fibonacci numbers: F(n) = F(n-1) + F(n-2), F(0) = 0, F(1) = 1, F(2) = 1,...
>Comments: F(n+1) = number of binary sequences of length n that have no consecutive
> 0's.
> F(n+2) = number of subsets of {1,2,...,n} that contain no consecutive
> integers.
> F(n+1) = number of tilings of a 2xn rectangle by 2x1 dominos.
> Positive terms are the solutions to z = 2xy^4 + (x^2)y^3 - 2(x^3)y^2 - y^5
> - (x^4)y + 2y for x,y >= 0 (Ribenboim, page 193). When x=F(n), y=F(n +
> 1) and z>0 then z=F(n + 1).
>References G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers.
> 3rd ed., Oxford Univ. Press, London and New York, 1954, p. 148.
> V. E. Hoggatt, Jr., Fibonacci and Lucas Numbers. Houghton, Boston, MA,
> 1969.
> D. E. Knuth, The Art of Computer Programming. Addison-Wesley,
> Reading, MA, Vol. 1, p. 78.
> J. Roberts, Lure of the Integers, Math. Assoc. America, 1992, p. 288.
>Links: H. Bottomley and N. J. A. Sloane, Illustration of initial terms: the Fibonacci tree
> C. K. Caldwell, Fibonacci Numbers
> P. J. Cameron, Sequences realized by oligomorphic permutation groups, J. Integ. Seqs. Vol. 3 (2000), #00.1.5.
> INRIA Algorithms Project, Encyclopedia of Combinatorial Structures 9
> B. Kelly, Fibonacci and Lucas factorizations
> R. Knott, Fibonacci numbers with tables of F(0)-F(500)
> Hisanori Mishima, Factorizations of many number sequences
> E. W. Weisstein, Link to a section of The World of Mathematics.
> E. W. Weisstein, Link to a section of The World of Mathematics.
> E. W. Weisstein, Link to a section of The World of Mathematics.
> E. W. Weisstein, Link to a section of The World of Mathematics.
> Index entries for"core" sequences
>Formula: Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, 1996.
> F(n) = ((1+sqrt(5))^n-(1-sqrt(5))^n)/(2^n*sqrt(5)). G.f.:
> x/(1-x-x^2).
> F(n+1) = SUM(0 < j <= [n/2]; binomial(n-j, j))
> [0 1; 1 1]^n [0 1] = [F(n); F(n+1)]
> x | F(n) ==> x | F(kn).
>Maple: with(combinat): A000045:=proc(n) fibonacci(n); end;
>Mma: Table[ Fibonacci[ k ],{k,1,50} ]
>Program: (PARI.2.0.11) a(n)=if(n<=1, n, a(n-1)+a(n-2));
> vector(35,n,a(n))
> (PARI) F(n)=round((1+sqrt(5))^n/2^n/sqrt(5))
> (PARI) F(n)=if(n<2,n>0,F(n-1)+F(n-2))
>See also: A000032(n)=A000045(n+1)+A000045(n-1), n>0. Cf. A060441.
> See also A000213, A000288, A000322, A000383, A060455.
>Keywords: core,nonn,easy,nice
>Offset: 0
>Author(s): njas
>
><font color="00FF00">Link: www.research.att.com/~njas/sequences/[/b]</font>
>Der Kerl hat da über 60k Zahlenreihen stehen. Wer sie alle aufrufen will, braucht Jahre. Aber vielleicht... ist ja noch was Schönes drunter?
>Gruß
>d.


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</center>

>Hallo"Dottore"
>n Sie den Fehler auf
>Seite"drei" schon entdeckt?!
>Nur sol als kleiner allgemeiner Hinweis!
>
>PFG
>AU
>habe

Hi AU,

leider nicht verstanden, was Du meinst. Habe ich Blödsinn gemacht oder etwas übersehen? Täte mir sehr leid. Hatte den Link weder aus Besserwisserei noch aus Chuzpe reingestellt.

Aber weil wir beim Thema sind: Ich hirne seit langer Zeit darüber nach, ob wir mit dem System unserer Zahlen die Wirklichkeit richtig erfassen. Die Methode 1,2,3,4, usw. erscheint mir etwas eng gestrickt.

Die Ägypter, wenn ich mich richtig erinnere (habe das betreffende Buch gerade nicht zur Hand), hatten als"Zahlzeichen" für eine Million ein Männchen, das - wie hilflos - beide Hände in den Himmel streckt. Auch in der Lutherzeit galt das Wort"Million" noch für"unendlich viel".

Auch bei Münzen ist es komisch: Auf frühen römischen Münzen erscheint (als angebliches Zahlzeichen) ein X, es soll für"zehn" stehen (X = 10). Aber warum dann nur auf dieser einen Silbermünze eine Zahl? Dann gibt es Münzen mit"Tastmarken" (wie heute auf Papiergeld die"Knubbel" für Blinde). Maximal sechs. Bei den römischen Denaren und Aurei erscheint nichts, auch nicht bei den"Multiplen", also Mehrfach-Stücken nicht.

Dann erst wieder unter Justinian ein M z.B. auf seinen Folles (Über-Fünf-Markstückgroß, Cu), griech. Zahlzeichen für 40.

MA-Münzen haben nix. Die älteste Zahl auf einer Münze (dänisch) ist rätselhafterweise ein 1 2 3 4 und wird als Jahreszahl gedeutet.

Bei den Talern (Silbergulden) steht 10, 12, 14 usw."aus einer Mark fein" (Mark = ca. 1/2 Pfund). Dann gibt's nach dem Leipziger Fuß im 17. Jh. komischerweise 2/3-Taler mit 2/3 aufgeprägt.

Und so fort. Manchmal habe ich das Gefühl, dass dort, wo es mit konkreten physischen Mengen und Gegebenheiten zugeht (wie bei Münzen), wird mehr von einer "Einheit" ausgegangen, die sich dann teilt. Bei reinen Rechnungen (auf Papier usw.) haben wir die herkömmlichen Zahlen, aber das ist wie Buchhaltung, die Römer schrieben auch solche Zahlen auf Wachstäfelchen, aber eben als"gedacht" bzw. als Merkposten.

Das Problem wird uns vermutlich noch lange begleiten.

Gruß

d.

<center>

<HR>

</center>

"Dottore"
"ABER, ABER",

FFibor, sagt eine gewisse Möglichkeit vor, aber die Prime Rate ist entscheidend!

Wie kommen Sie auf so eine naive MÃ-GLICHKEIT daß es umgehkehrt möglich wäre?,
Sie sind offen bar dem"Fibor"
Sie sind disem Forum offentsichlich nicht ganz"GeHÄUER!

ABSOLUT IHRE SCHULD!!!!!

Gott BEWAHRE die

Womit oder im Falle einer Ansteckung, kann man sich eventuell addur"Schützen"
das Fibor Programm" ist

Wie ste



Leider ist der
>>n Sie den Fehler auf
>>Seite"drei" schon entdeckt?!
>>Nur sol als kleiner allgemeiner Hinweis!
>>
>>PFG
>>AU
>>habe
>Hi AU,
>leider nicht verstanden, was Du meinst. Habe ich Blödsinn gemacht oder etwas übersehen? Täte mir sehr leid. Hatte den Link weder aus Besserwisserei noch aus Chuzpe reingestellt.
>Aber weil wir beim Thema sind: Ich hirne seit langer Zeit darüber nach, ob wir mit dem System unserer Zahlen die Wirklichkeit richtig erfassen. Die Methode 1,2,3,4, usw. erscheint mir etwas eng gestrickt.
>Die Ägypter, wenn ich mich richtig erinnere (habe das betreffende Buch gerade nicht zur Hand), hatten als"Zahlzeichen" für eine Million ein Männchen, das - wie hilflos - beide Hände in den Himmel streckt. Auch in der Lutherzeit galt das Wort"Million" noch für"unendlich viel".
>Auch bei Münzen ist es komisch: Auf frühen römischen Münzen erscheint (als angebliches Zahlzeichen) ein X, es soll für"zehn" stehen (X = 10). Aber warum dann nur auf dieser einen Silbermünze eine Zahl? Dann gibt es Münzen mit"Tastmarken" (wie heute auf Papiergeld die"Knubbel" für Blinde). Maximal sechs. Bei den römischen Denaren und Aurei erscheint nichts, auch nicht bei den"Multiplen", also Mehrfach-Stücken nicht.
>Dann erst wieder unter Justinian ein M z.B. auf seinen Folles (Über-Fünf-Markstückgroß, Cu), griech. Zahlzeichen für 40.
>MA-Münzen haben nix. Die älteste Zahl auf einer Münze (dänisch) ist rätselhafterweise ein 1 2 3 4 und wird als Jahreszahl gedeutet.
>Bei den Talern (Silbergulden) steht 10, 12, 14 usw."aus einer Mark fein" (Mark = ca. 1/2 Pfund). Dann gibt's nach dem Leipziger Fuß im 17. Jh. komischerweise 2/3-Taler mit 2/3 aufgeprägt.
>Und so fort. Manchmal habe ich das Gefühl, dass dort, wo es mit konkreten physischen Mengen und Gegebenheiten zugeht (wie bei Münzen), wird mehr von einer "Einheit" ausgegangen, die sich dann teilt. Bei reinen Rechnungen (auf Papier usw.) haben wir die herkömmlichen Zahlen, aber das ist wie Buchhaltung, die Römer schrieben auch solche Zahlen auf Wachstäfelchen, aber eben als"gedacht" bzw. als Merkposten.
>Das Problem wird uns vermutlich noch lange begleiten.
>Gruß
>d.


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>"Dottore"
>"ABER, ABER",
>FFibor, sagt eine gewisse Möglichkeit vor, aber die Prime Rate ist entscheidend!
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>Wie kommen Sie auf so eine naive MÃ-GLICHKEIT daß es umgehkehrt möglich wäre?,
>Sie sind offen bar dem"Fibor"
>Sie sind disem Forum offentsichlich nicht ganz"GeHÄUER!
>ABSOLUT IHRE SCHULD!!!!!
>Gott BEWAHRE die
>Womit oder im Falle einer Ansteckung, kann man sich eventuell addur"Schützen"
>das Fibor Programm" ist
>Wie ste
>Leider ist der
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>>>Seite"drei" schon entdeckt?!
>>>Nur sol als kleiner allgemeiner Hinweis!
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>>>PFG
>>>AU
>>>habe
>>Hi AU,
>>leider nicht verstanden, was Du meinst. Habe ich Blödsinn gemacht oder etwas übersehen? Täte mir sehr leid. Hatte den Link weder aus Besserwisserei noch aus Chuzpe reingestellt.
>>Aber weil wir beim Thema sind: Ich hirne seit langer Zeit darüber nach, ob wir mit dem System unserer Zahlen die Wirklichkeit richtig erfassen. Die Methode 1,2,3,4, usw. erscheint mir etwas eng gestrickt.
>>Die Ägypter, wenn ich mich richtig erinnere (habe das betreffende Buch gerade nicht zur Hand), hatten als"Zahlzeichen" für eine Million ein Männchen, das - wie hilflos - beide Hände in den Himmel streckt. Auch in der Lutherzeit galt das Wort"Million" noch für"unendlich viel".
>>Auch bei Münzen ist es komisch: Auf frühen römischen Münzen erscheint (als angebliches Zahlzeichen) ein X, es soll für"zehn" stehen (X = 10). Aber warum dann nur auf dieser einen Silbermünze eine Zahl? Dann gibt es Münzen mit"Tastmarken" (wie heute auf Papiergeld die"Knubbel" für Blinde). Maximal sechs. Bei den römischen Denaren und Aurei erscheint nichts, auch nicht bei den"Multiplen", also Mehrfach-Stücken nicht.
>>Dann erst wieder unter Justinian ein M z.B. auf seinen Folles (Über-Fünf-Markstückgroß, Cu), griech. Zahlzeichen für 40.
>>MA-Münzen haben nix. Die älteste Zahl auf einer Münze (dänisch) ist rätselhafterweise ein 1 2 3 4 und wird als Jahreszahl gedeutet.
>>Bei den Talern (Silbergulden) steht 10, 12, 14 usw."aus einer Mark fein" (Mark = ca. 1/2 Pfund). Dann gibt's nach dem Leipziger Fuß im 17. Jh. komischerweise 2/3-Taler mit 2/3 aufgeprägt.
>>Und so fort. Manchmal habe ich das Gefühl, dass dort, wo es mit konkreten physischen Mengen und Gegebenheiten zugeht (wie bei Münzen), wird mehr von einer "Einheit" ausgegangen, die sich dann teilt. Bei reinen Rechnungen (auf Papier usw.) haben wir die herkömmlichen Zahlen, aber das ist wie Buchhaltung, die Römer schrieben auch solche Zahlen auf Wachstäfelchen, aber eben als"gedacht" bzw. als Merkposten.
>>Das Problem wird uns vermutlich noch lange begleiten.
>>Gruß
>>d.


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>Aber weil wir beim Thema sind: Ich hirne seit langer Zeit darüber nach, ob wir mit dem System unserer Zahlen die Wirklichkeit richtig erfassen. Die Methode 1,2,3,4, usw. erscheint mir etwas eng gestrickt.

???
ich denke unsere mathematik reicht aus um die makrowelt zu beschreiben.
nicht vergessen: es gibt nicht nur die ganzen zahlen.


>Die Ägypter, wenn ich mich richtig erinnere (habe das betreffende Buch gerade nicht zur Hand), hatten als"Zahlzeichen" für eine Million ein Männchen, das - wie hilflos - beide Hände in den Himmel streckt. Auch in der Lutherzeit galt das Wort"Million" noch für"unendlich viel".

also primitive mathematik -?


>Auch bei Münzen ist es komisch: Auf frühen römischen Münzen erscheint (als angebliches Zahlzeichen) ein X, es soll für"zehn" stehen (X = 10). Aber warum dann nur auf dieser einen Silbermünze eine Zahl? Dann gibt es Münzen mit"Tastmarken" (wie heute auf Papiergeld die"Knubbel" für Blinde). Maximal sechs. Bei den römischen Denaren und Aurei erscheint nichts, auch nicht bei den"Multiplen", also Mehrfach-Stücken nicht.

digit = zeichen
klar kann man auch ein zahlensystem aus 2 einheiten/digits (binär) oder 3 oder 6 oder 10 (dezimal) oder gar 16 (hexadezimal) bilden. whats the point?

bin kein mathematiker, aber zählbarkeit ist was übrigbleibt wenn wir von einem gegenstand alle anderen eigenschaften wegnehmen. ein apfel minus alle seine apfeleigenschaften = 1. eine münze ohne nennwert = 1 münze:)


>Dann erst wieder unter Justinian ein M z.B. auf seinen Folles (Über-Fünf-Markstückgroß, Cu), griech. Zahlzeichen für 40.
>MA-Münzen haben nix. Die älteste Zahl auf einer Münze (dänisch) ist rätselhafterweise ein 1 2 3 4 und wird als Jahreszahl gedeutet.
>Bei den Talern (Silbergulden) steht 10, 12, 14 usw."aus einer Mark fein" (Mark = ca. 1/2 Pfund). Dann gibt's nach dem Leipziger Fuß im 17. Jh. komischerweise 2/3-Taler mit 2/3 aufgeprägt.
>Und so fort. Manchmal habe ich das Gefühl, dass dort, wo es mit konkreten physischen Mengen und Gegebenheiten zugeht (wie bei Münzen), wird mehr von einer "Einheit" ausgegangen, die sich dann teilt. Bei reinen Rechnungen (auf Papier usw.) haben wir die herkömmlichen Zahlen, aber das ist wie Buchhaltung, die Römer schrieben auch solche Zahlen auf Wachstäfelchen, aber eben als"gedacht" bzw. als Merkposten.
>Das Problem wird uns vermutlich noch lange begleiten.

welches problem? das der buchhaltung? oder der wachtäfelchen?
ich glaub ich kann dir nicht folgen...

gruss

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>Und so fort. Manchmal habe ich das Gefühl, dass dort, wo es mit konkreten physischen Mengen und Gegebenheiten zugeht (wie bei Münzen), wird mehr von einer "Einheit" ausgegangen, die sich dann teilt. Bei reinen Rechnungen (auf Papier usw.) haben wir die herkömmlichen Zahlen, aber das ist wie Buchhaltung, die Römer schrieben auch solche Zahlen auf Wachstäfelchen, aber eben als"gedacht" bzw. als Merkposten.
>Das Problem wird uns vermutlich noch lange begleiten.

Mittlerweile können wir uns darauf besinnen, dass wir eben immer vergleichen, immer in Verhältnissen denken, rechnen, kombinieren. Deshalb ist ja auch das multiplizierende Dezimalsystem dem teilenden Dutzendsystem so unterlegen & einer der dummtheoretischen wissenschaftlichen Fehlgriffe: 10 lässt sich nur durch 2 & 5 teilen, mit unschönen Verhältnissen als Resultat; indessen 12 sich durch 2, 3, 4 & 6 teilen lässt, mit gefälligen Ergebnissen von Architektur bis zu Schnittmustern. Zur Belebung des Denkens sollte eigentlich eine Bewegung zur Abschaffung des Dezimalsystems gegründet werden.

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