Hier das Ganze mal berechnet...

verfasst von Hirscherl, 25.02.2002, 17:31

Anmerkung: bedingte Wahrscheinlichkeiten lesen sich so: P(x|y) Wahrscheinlichkeit für x unter der Annahme y.

Gegeben 3 Türen: A,B,C

Ereignisse AP = Preis ist hinter Tür A
BP = Preis ist hinter Tür B
CP = Preis ist hinter Tür C

Ereignisse AO = Quizmaster öffnet Tür A
BO = Quizmaster öffnet Tür B
CO = Quizmaster öffnet Tür C

Die a-priori Wahrscheinlichkeiten, dass sich ein Preis hinter einer bestimmten Tür befindet ist:

P(AP)=P(BP)=P(CP)=1/3

Nehmen wir nun weiter an, dass wir Tür B gewählt haben und der Quizmaster Tür A öffnet, hinter der sich natürlich kein Preis verbirgt! Sollen wir nun bei unserer Wahl B bleiben oder zu C wechseln?

Berechnen wir nun folgende bedingte (hypothetischen) Wahrscheinlichkeiten:

P(AO|AP)=0 (Null) D.h., Quizmaster öffnet Tür A sicher nicht, wenn der Preis hinter Tür A ist

P(AO|BP)=1/2 Ist der Preis hinter Tür B, so stehen dem Quizmaster 2 Türen zur Auswahl, hinter denen sich kein Preis befindet

P(AO|CP)=1 Befindet sich der Preis hinter Tür C so bleibt dem Quizmaster nur, die Tür A zu öffnen, da wir ja Tür B gewählt haben

Die (totale) Wahrscheinlichkeit, dass der Quizmaster Tür A öffnet ist dann:

P(AO) = P(AP) * P(AO|AP) + P(BP) * P(AO|BP) + P(CP) * P(AO|CP)
= 1/3 * 0 + 1/3 * 1/2 + 1/3 * 1
= 0 + 1/6 + 1/3
= 1/2

Daraus lassen sich nun nach Bayes folgende a-posteriori Wahrscheinlichkeiten ausrechnen

P(BP|AO) = P(BP) * P(AO|BP) / P(AO) = ((1/3)*(1/2)) / (1/2) = (1/6)/(1/2) = 1/3
P(CP|AO) = P(CP) * P(AO|CP) / P(AO) = ((1/3)*( 1 )) / (1/2) = (1/3)/(1/2) = 2/3

Quelle:
http://www.univie.ac.at/spareg/cc/l...ch/stat/MontyHall/MontyHall.html

Und nur mal so angemerkt: schön langsam läuft es mir kalt den Rücken runter, wenn die Sache mittlerweile experimentell unabhängig voneinander von dira und JüKü bestätigt wurde und auch der mathematische Beweis vorliegt und trotzdem noch einige Leute einfach auf ihrer Meinung beharren, es wäre 50/50.


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  • Eugippius hat es doch perfekt erklärt (owT) - dira, 25.02.2002, 10:07
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  • Hier das Ganze mal berechnet... - Hirscherl, 25.02.2002, 17:31
    • Re: Hier das Ganze mal berechnet... - JüKü, 25.02.2002, 17:41
    • Re: Hier das Ganze mal berechnet... - Euklid, 25.02.2002, 18:23