Altes Elliott-Wellen-Forum - Hier gibt es nur EINE EINZIGE Wahrheit

Hier gibt es nur EINE EINZIGE Wahrheit

verfasst von HB, 11.08.2003, 15:40

-->Für die anglophilen gibt es hier eine Erklärung (mit Simulationsprogramm):

THE MONTY HALL PROBLEM

Für jene, die es lieber deutschsprachig haben, beschreibt Walter Krämer in"Denkste!" die Lösung:

Es lohnt sich doch, die Ziegentür zu wechseln

Angenommen, ich habe in einem Fernsehquiz gewonnen - ent-
weder ein teures Luxusauto oder aber eine Ziege. Der Moderator
führt mich vor drei Türen, hinter einer das Auto und hinter zwei
anderen jeweils eine Ziege, und ich wähle aufs Geratewohl die er-
ste Tür von links. Um die Spannung zu erhöhen, öffnet der Mo-
derator aber zuerst eine der beiden anderen Türen, sagen wir die
erste Tür von rechts; dahinter wartet eine Ziege. Und dann er-
laubt er mir, meine Wahl zu ändern - statt der ersten Tür von
links die noch geschlossene dritte Tür, in diesem Fall also die
mittlere, zu nehmen. Soll ich nun wechseln oder nicht?
»Natürlich!« sagen die einen. »Mit einer Wahrscheinlichkeit
von 2 /3 ist das Auto hinter einer der anderen, nicht gewählten
Türen. Fällt eine davon aus, so muß die andere mit einer Wahr-
scheinlichkeit von 2 /3 das Auto verstecken. Also verdopple ich
durch einen Wechsel die Wahrscheinlichkeit, das Auto zu gewin-
nen.«
»Was ein Blödsinn!« sagen die anderen. »Ganz gleich, was man
als erstes selber wählt - der Moderator kann immer eine Tür mit
einer Ziege öffnen. Deshalb erfährt man dadurch auch nichts
Neues, das hat man vorher schon gewußt. Und deshalb bleiben
auch die Wahrscheinlichkeiten dieselben; ob ich die Tür wechsle
oder nicht, ich wähle mit einer Wahrscheinlichkeit von 2 /3 eine
Ziege und mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 /3 das Auto. Und
deshalb kann ich auch genausogut bei meiner ersten Wahl ver-
bleiben.«
»Das verstehe ich nicht«, sagt noch ein anderer. »Wenn der Mo-
derator eine Tür mit einer Ziege öffnet, bleiben noch zwei Türen
übrig, eine mit einer Ziege und eine mit einem Auto. Damit steigt
die Wahrscheinlichkeit für Auto bei beiden Türen auf 1 /2.«
Wer hat hier recht?
Zunächst ist klar: über unsere zuerst gewählte Tür erfahren wir
in der Tat nichts Neues. Denn ganz gleich, ob wir das Auto oder
eine Ziege wählen - der Moderator kann immer eine Tür mit ei-
ner Ziege öffnen (wobei ich hier einmal unterstelle, daß er das
auch tatsächlich tut; dazu später mehr). Damit bleibt die Wahr-
scheinlichkeit, daß wir von Anfang an das Auto haben, die glei-
che wie vorher, nämlich 1 /3. Oder anders ausgedrückt, wenn wir
dieses Spiel - hypothetisch - sehr oft spielen, und unsere erste
Wahl nie ändern, werden wir auf Dauer in einem Drittel aller Fäl-
le das Auto gewinnen.
Aber dabei darf man nicht vergessen, daß die Auto-Wahrschein-
lichkeiten für die beiden anderen Türen sich sehr wohl ändern. Für
die vom Moderator geöffnete, die mit der Ziege dahinter, ist das so-
fort klar - die Wahrscheinlichkeit für »Auto« sinkt auf Null. Und
da das Auto mit einer Wahrscheinlichkeit von l hinter einer der
Türen wartet, hinter einer, nämlich unserer ersten Wahl, mit einer
Wahrscheinlichkeit von 1 /3, hinter einer anderen, nämlich der vom
Moderator geöffneten, mit einer Wahrscheinlichkeit von 0, ver-
bleibt für die letzte Tür nur noch die Wahrscheinlichkeit von 2 /3.
Mit anderen Worten, es ist äußerst lohnend, auf die Tauschofferte
einzugehen.
Das sieht man aber auch ohne jede Wahrscheinlichkeitsrech-
nung. Denn wenn wir selbst in einem Drittel aller Fälle von An-
fang an das Auto wählen, dann muß in den restlichen zwei Drit-
teln aller Fälle, d.h. immer dann, wenn wir nicht schon selbst das
Auto geraten haben, dieses hinter der verbleibenden Tür stecken.
Und damit lohnt es sich auf jeden Fall, sofern erlaubt, die Tür zu
wechseln.
Natürlich kann man dabei auch hereinfallen: Ich habe das Au-
to richtig geraten, und der böse Moderator überredet mich, statt-
dessen eine Ziegentür zu wählen. Das wird, wenn der Kandidat
oder die Kandidatin sich auf einen Wechsel einläßt, auf Dauer in
einem Drittel aller Fälle auch tatsächlich so geschehen. Aber in
den anderen zwei Dritteln aller Fälle, in denen wir nicht schon
vorher die richtige Tür geraten hatten, wird der Moderator bzw.
seine Fernsehanstalt um ein Auto ärmer.
Das sieht man noch besser an einem extremen Beispiel mit
hundert Türen, einem Auto und 99 Ziegen. Hier ist die Wahr-
scheinlichkeit nur eins zu hundert, daß man gleich zu Anfang auf
das Auto tippt. Jetzt öffnet der Moderator 98 der verbleibenden
99 Türen, hinter jeder eine Ziege. Soll man wechseln?
Ich glaube, spätestens hier würde wohl jeder gerne wechseln.
Zwar ist die Wahrscheinlichkeit von »Auto« für die zuerst ge-
wählte Tür die gleiche wie zuvor, nämlich ein Prozent, aber mit
einer überwältigend größeren, nämlich 99-prozentigen Wahr-
scheinlichkeit steht das Auto hinter der zweiten noch verschlos-
senen Tür.
Stattdessen denken manche aber so: »Nachdem der Moderator
eine Tür geöffnet hat, bleiben noch zwei Türen übrig; hinter ei-
ner davon das Auto, also ist die neue (die sogenannte »bedingte«)
Wahrscheinlichkeit für Auto für jede Tür 1 /2.«
Das ist aber falsch, denn die verbleibenden zwei Möglichkeiten
sind nicht gleich wahrscheinlich: Die bedingte Wahrscheinlich-
keit für »Ziege hinter linker Tür, gegeben Moderator öffnet rech-
te Tür« ist nicht die gleiche wie die bedingte Wahrscheinlichkeit
für »Ziege hinter mittlerer Tür, gegeben Moderator öffnet rechte
Tür«. Vielmehr ist die erste dieser bedingten Wahrscheinlichkei-
ten die gleiche wie die unbedingte Wahrscheinlichkeit, also 1 /3,
und deshalb muß die zweite bedingte Wahrscheinlichkeit 2 /3 sein.
Für Leute, die gern Haare spalten: Man muß hier streng ge-
nommen unterscheiden zwischen der bedingten Wahrscheinlich-
keit, durch einen Wechsel zu gewinnen, gegeben der Moderator
öffnet irgendeine Tür, und der bedingten Wahrscheinlichkeit,
durch einen Wechsel zu gewinnen, gegeben der Moderator öffnet
eine ganz bestimmte Tür (etwa die rechte). Hier haben wir uns
nur mit der ersten Wahrscheinlichkeit beschäftigt; diese ist und
bleibt 2 /3, ganz gleich nach welcher Regel der Moderator vorgeht,
Hauptsache, er öffnet eine Ziegentür. Die zweite Wahrscheinlich-
keit dagegen hängt durchaus auch noch von dem Moderator ab.
Angenommen etwa, der Moderator geht nach der folgenden Re-
gel vor: »Falls Kandidat linke Tür wählt: Ã-ffne die rechte Tür
nur dann, wenn das Auto hinter der mittleren Tür versteckt ist;
ansonsten öffne die mittlere Tür.« In diesem Fall beträgt die be-
dingte Wahrscheinlichkeit für »Gewinn durch Wechsel, gegeben
der Moderator öffnet die rechte Tür« ganz offensichtlich 1: die
rechte Tür wird nur dann geöffnet, wenn das Auto hinter der
mittleren wartet, also gewinne ich durch einen Wechsel auf jeden
Fall. Die bedingte Wahrscheinlichkeit für »Gewinn durch Wech-
sel, gegeben der Moderator öffnet die mittlere Tür« beträgt da-
gegen nur 1 /2 (denn in der Hälfte der Fälle, in denen der Modera-
tor die mittlere Tür öffnet, wartet das Auto rechts, in der anderen
Hälfte der Fälle links). In diesem Fall könnten wir also auch bei
unserer ersten Wahl verbleiben.
Der Punkt ist aber, die Gesamt-Wahrscheinlichkeit für »Ge-
winn durch Wechsel« ist weiterhin 2 /3. Sie wird berechnet als
W(Gewinn|Moderator öffnet rechte Tür) x W(Moderator
öffnet rechte Tür)
+ W(Gewinn|Moderator öffnet mittlere Tür)
x W(Moderator öffnet mittlere Tür)

= 1 x 1/3 + 1/2 x 2/3 = 2/3

In dieser Betrachtungsweise liefert die geöffnete Tür auch Infor-
mationen über unsere eigene Tür: Wenn der Moderator die rechte
Tür öffnet, wissen alle Eingeweihten genau: wir haben das Auto
nicht. Aber das wissen sie nur deshalb, weil sie erstens die Ent-
scheidungsregel und zweitens die vom Moderator geöffnete Tür
genau kennen. Wenn man den Eingeweihten nichts anderes sagt
als »Der Moderator hat eine Tür geöffnet, soll der Kandidat jetzt
wechseln?«, können sie uns nur den gleichen Rat geben, den wir
uns auch selbst gegeben hätten, nämlich wechseln.
Aber wo wir schon beim Haarespalten sind: wir haben bei diesen
Überlegungen immer vorausgesetzt, daß der Moderator eine Tür
öffnen muß, und immer eine Tür mit einer Ziege öffnet. Wenn
der Moderator selbst die Autotür nicht kennt, oder die Autotür
zwar kennt, aber nur dann eine Ziegentür öffnet, wenn wir selber
schon das Auto haben, gelten nochmals andere Gesetze.
Beginnen wir mit dem ersten Fall. Wenn der Moderator selbst
die Autotür nicht kennt, wird er diese mit einer Wahrscheinlich-
keit von 1 /3 öffnen. Damit wäre dann das Spiel zu Ende. Die be-
dingte Wahrscheinlichkeit für »Auto hinter unserer eigenen Tür«
sinkt auf Null, aber leider dürfen wir dann nicht mehr wechseln.
Ã-ffnet der Moderator dagegen per Zufall eine Ziegentür, steigt
die bedingte Wahrscheinlichkeit für »Auto hinter meiner eigenen
Tür« auf 1 /2. Jetzt könnten wir zwar wechseln, aber es lohnt sich
nicht, die bedingte Wahrscheinlichkeit für »Auto hinter der an-
deren Tür« ist ebenfalls 1 /2. Anders als in der Standardversion lie-
fert der Moderator also hier auch Informationen über unsere ei-
gene Tür - nur nützen sie uns nichts.
Nochmals anders ist die Lage im zweiten Fall, also wenn der
Moderator nur dann eine Ziegentür öffnet, wenn wir selber
schon das Auto haben. Wenn wir wissen, daß der Moderator so
vorgeht, liefert er uns damit natürlich ebenfalls Informationen
über unsere eigene Tür, jetzt aber äußerst nützliche. Denn dann
wissen wir mit Sicherheit: Wenn der Moderator eine Tür öffnet,
dann nur, weil wir selber schon das Auto haben, und deshalb
wechseln wir natürlich nicht.
Solche Überlegungen kann man beliebig weitertreiben, etwa
indem wir unterstellen, daß der Moderator seine Strategie vor der
Sendung auswürfelt, aber das führt hier zu weit. Der Punkt ist
nur, daß unsere eigene Optimalstrategie sehr von der Strategie
des Moderators und von unserem Wissen darüber abhängt, und
daß die Regel »Immer wechseln«, und die resultierende Er-
höhung unserer Gewinnwahrscheinlichkeit von 1 /3 auf 2 /3, nur un-
ter bestimmten, allerdings sehr realistischen Voraussetzungen
über das Verhalten des Moderators gilt, nämlich nur dann, wenn
der Moderator grundsätzlich, ganz gleich ob wir das Auto haben
oder nicht, immer eine Tür mit einer Ziege öffnet.
Dieses sogenannte Ziegenproblem kursiert in verschiedenen Ver-
kleidungen schon seit Jahrhunderten in den Mathematikbüchern
des Abendlandes. Am bekanntesten sind die drei Todeskandida-
ten: Zwei von dreien müssen sterben, mehr ist nicht bekannt.
Jetzt fragt erste Kandidat den Gefängniswärter: »Hör mal, kannst
Du mir verraten, wer von den beiden anderen dran glauben muß?
Einer ist auf jeden Fall an der Reihe, also verrätst Du kein Ge-
heimnis.« Der Wärter überlegt und sagt: »Irgendwie hast Du
recht. Also, X ist fällig.« Jetzt ist der erste Todeskandidat erleich-
tert, denn der denkt: »Bleiben zwei übrig, einer davon überlebt,
also ist meine eigene Überlebenswahrscheinlichkeit von 1 /3 auf 1 /2
gestiegen.«
Das ist aber ein Trugschluß. Denn wenn der Wärter auf jeden
Fall antwortet (entspricht dem Moderator, der immer eine Tür
öffnet), und auf jeden Fall einen Todeskandidaten nennt (ent-
spricht dem Moderator, der immer eine Ziegentür öffnet), erfährt
der erste Todeskandidat über sich selbst nichts Neues: die Wahr-
scheinlichkeit zu überleben ist vorher die gleiche wie nachher,
nämlich 1 /3. Grund zur Freude hat allein der dritte Kandidat,
denn seine Überlebenswahrscheinlichkeit hat sich durch die In-
diskretion des Wärters von 1 /3 auf 2 /3 verdoppelt.
Literatur: »Schönheit des Denkens«, Der Spiegel 34/1991, 212-213, sowie
Leserbriefe dazu in Nr. 36/91; H.-W. Brachinger: »Nimm stets die andere -
Zur Diskussion um das Drei-Türen-Problem«, WISU - Das Wirtschaftsstu-
dium 1991, 887-890; J.P Morgan et al.: »Let's make a deal: the players dilem-
ma«, The American Statistician 45, 1991, 284-287; Gero von Randow: Das
Ziegenproblem, Reinbek 1992 (Rowohlt); Leonard Gillmanri: »The car and
the goat«, American Mathematical Monthly 1992, S. 3-7; Ed Barbeau: »The
problem of the car and the goats«, College Mathematics Journal 1993,
S. 149-154.

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Das berühmte Ziegenproblem.. - kizkalesi, 11.08.2003, 14:29
- Re: Das berühmte Ziegenproblem.. / NEEEEIIIIINNNN.... - - Elli -, 11.08.2003, 14:35
  - Q. E. D.....:-)))) - Tofir, 11.08.2003, 14:37
    - Re: Q. E. D.....:-)))) / eben.... - - Elli -, 11.08.2003, 14:42
      - Darf ich einen Freund anrufen, oder das Publikum befragen *g* Spässle gmacht (owT) - schombi, 11.08.2003, 14:44
      - Habe ich was verpasst? - Morpheus, 11.08.2003, 14:52
        Re: Habe ich was verpasst? - -- Elli --, 11.08.2003, 14:58
        Wieso meint eigentlich jeder... - Morpheus, 11.08.2003, 15:25
        Re: Wieso meint eigentlich jeder... - - Elli -, 11.08.2003, 15:32
        Re: Wieso meint eigentlich jeder... - Morpheus, 11.08.2003, 16:14
        Hier gibt es nur EINE EINZIGE Wahrheit - HB, 11.08.2003, 15:40
        Einen hab´ ich noch: - HB, 11.08.2003, 15:52
        Der BAnkhalter ist immer mit 66% im Vorteil... - Trueffel-Ferkel, 11.08.2003, 16:14
        Krämer dazu: - HB, 11.08.2003, 16:44
        Re: Habe ich was verpasst? - fridolin, 11.08.2003, 15:41
        Re: Habe ich was verpasst? / Irrtum, fridolin... - - Elli -, 11.08.2003, 16:01
        20 Antworten auf die Ziege und nur 5 auf die Gold-Dollar-Frage - symptomatisch - stocksorcerer, 11.08.2003, 18:46
        Die suchen hier einen Quizmaster, oder doch nur ein Fenster, oder was? (owT) - prinz_eisenherz, 11.08.2003, 21:11
- Ich glaube nicht, dass Hier nochmal einer will...:-) Diese Ziege ist zu bissig! (owT) - Tofir, 11.08.2003, 14:36
  - Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei enem Krokodil hinter der Tür? (owT) - prinz_eisenherz, 11.08.2003, 21:08
- Re: Das berühmte Ziegenproblem.... und was ist wenn - rocca, 11.08.2003, 14:47
- Re: Das berühmte Ziegenproblem.. - fridolin, 11.08.2003, 14:54
  - Re: Das berühmte Ziegenproblem.. - Jagg, 11.08.2003, 16:12
  - Re: Das berühmte Ziegenproblem.. - YooBee, 11.08.2003, 19:21
    - Re: Das berühmte Ziegenproblem - falsch, lies noch mal... gruss (owT) - Jagg, 11.08.2003, 20:07
      - Ich bin aber der BÃ-SE Quizmaster!:-)) (owT) - YooBee, 11.08.2003, 20:22
- 1/2 - 2/3 - beides richtig, da Definitionssache - JN++, 12.08.2003, 08:40
  - Re: Problem erkannt - leider nicht gebannt - Pudelbirne, 12.08.2003, 09:40
    - Re: Problem erkannt - leider nicht gebannt - Euklid, 12.08.2003, 11:37