Re: Entdeckung der Fibonacci!

verfasst von Dr.B., 05.06.2000, 19:42

Leonardo Pisano, auch unter dem Namen Fibonacci bekannt, war eine der herausragenden Persönlichkeiten der mittelalterlichen Mathematik des Abendlandes. Er reiste viel im Mittelmeerraum umher, bevor er sich in seiner Geburtsstadt Pisa niederließ. Im Jahre 1202 veröffentlichte er sein Buch mit dem Titel Liber Abaci, das Europa veränderte. Es machte die Europäer mit den indisch-arabischen Ziffern 0, 1, 2,... bekannt. Sein Buch enthüllt auch das folgende Problem, welches bis heute immer wieder Leute zu inspirieren vermochte. Zur Zeit 0 wird ein Kaninchenpaar geboren. Nach einem Monat ist dieses Paar reif und bringt einen Monat später ein neues Kaninchenpaar zur Welt. Und fährt in dieser Weise fort (d.h., jeden Monat wird dem ursprünglichen Paar ein neues Paar geboren). Überdies reift jedes neue Kaninchenpaar nach einem Monat und beginnt einen Monat danach damit, jeden Monat ein Nachkommenspaar in die Welt zu setzen und dies ohne Ende. Man geht davon aus, dass die Kaninchen unsterblich sind. Wie groß ist die Anzahl der Paare nach n Monaten?
Wir wollen Vorsicht walten lassen und der Entwicklung der Kaninchen Schritt für Schritt folgen. Wir wollen in unserer Kaninchen-Population zwischen erwachsenen und jungen Kaninchenpaaren unterscheiden. Ein neugeborenes Paar ist natürlich jung und wird nach einem Zeitschritt erwachsen. Es seien Jn und En die Zahlen der jungen und erwachsenen Paare nach n Monaten. Ursprünglich zur Zeit n = 0 ist nur ein junges Paar vorhanden (J0 = 1; E0 = 0). Nach einem Monat ist das junge Paar erwachsen (J1 = 0, E1 = 1). Nach zwei Monaten wird dem erwachsenen Paar ein junges Paar geboren. (J2 = 1; E2 = 1). Dann wiederum nach dem nächsten Monat. Außerdem wird das junge Paar erwachsen (J3 = 1; E3 = 2). Die allgemeine Regeln ergeben sich nun sofort daraus, dass einerseits die Anzahl der geborenen Paare Jn+1 gleich der vorhergehenden Anzahl erwachsener Paare En ist und andererseits die erwachsene Bevölkerung um die Zahl der unreifer Paare Jn des Vormonats wächst. Demnach beschreiben die folgenden beiden Formeln die Populationsdynamil vollständig.

Jn+1 = E1,
En+1 = En + Jn.

Als Anfangswerte nehmen wir J0 = 1 und E0 = 0. Aus der ersten obenstehenden Gleichung folgt Jn = En-1. Dies eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt

En+1 = En + En-1

Mit E0 = 0 und E1 = 1. Dies ist die einzige Gleichung für das ganze Kaninchen-Problem. Damit lässt sich die Anzahl der Paare in aufeinanderfolgenden Generationen sehr einfach berechnen.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,...

Jede Zahl in dieser Folge ist gerade die Summe ihrer beiden Vorgängerinnen. Dies Folge wird Fibonacci-Folge genannt.

Tausende von Artikeln sind darüber veröffentlicht worden, und es gibt sogar eine Fbonacci-Gesellschaft mit ihrer eigenen Zeitschrift, Fibonacci-Quarterly, in der über den niemals abbrechenden Strom neuer Ergebnisse berichtet wird.
Eine schon seit langem bekannte Eigenschaft mit wundervollen Anwendungen in Architektur und Kunst seit Jahrhunderten führte erst kürzlich zu höchst erstaunlichen Untersuchungen in der Biologie.
Offensichtlich kann die Fibonaccie-Folge über alle Grenzen wachsen. Unsere Kaninchen erfahren somit eine Art Bevölkerungsexplosion. Wir können jedoch fragen, wie diese Population sich von Generation zu Generation entwickelt. Zu diesem Zweck betrachten wir nochmals die Fibonacci-Zahlen und berechnen die Verhältnisse aufeinanderfolgender Generation.

1 1/1 1.0
1 2/1 2.0
2 3/2 1.5
3 5/3 1.66
5 8/5 1.6
8 13/8 1.625
13 21/13 1.6153
21 34/21 1.6190
34 55/34 1.6176
55 89/55 1.6181
89 144/89 1.6179
144 233/144 1.6180
233 377/233 1.6180

Offensichtlich nähern wir uns sukzessive, wenn auch nicht gerade schnell, einer bestimmten Zahl. Haben Sie diese rätselhafte Zahl

1.61803398874989...

schon einmal gesehen?

Es handelt sich hierbei um den berühmten goldenen Schnitt, oder wie er im Mittelalter genannt wurde, proportio divina. Diese Zahl hat, wie kaum eine andere in der Mathematikgeschichte, Mathematiker, Astronomen und Philosophen inspiriert.

Herzlichst Dr.B.


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  • Re: Entdeckung der Fibonacci! - Schlangenfuchs, 05.06.2000, 18:41
    • Re: Fibonacci-Zahlenreihe - LaoTse, 05.06.2000, 18:56
  • Re: Entdeckung der Fibonacci! - Dr.B., 05.06.2000, 19:42
    • Re: Entdeckung der Fibonacci! - eferis, 05.06.2000, 20:08
      • Re: Entdeckung der Fibonacci! - Dr.B., 05.06.2000, 20:30
        • Danke! Und ich würde mich sehr darauf freuen! - eferis, 05.06.2000, 20:39
          • Re: Danke! Und ich würde mich sehr darauf freuen! - Dr.B., 05.06.2000, 21:26